Question

Найдите наибольшее значение функции: y = 2x² - 10x + 6lnx - 3 на отрезке [10/11;12/11]

Answer 1

Дана функция:

$y = 2 {x}^{2} - 10x + 6 ln(x) -3$

Найдем её производную:

$y' = 4x - 10 + \frac{6}{x}$

Приравняем производную к нулю:

$4x - 10 + \frac{6}{x} = 0 \\ 4 {x}^{2} - 10x + 6 = 0 \\ 2 {x}^{2} - 5x + 3 = 0 \\ x_{1} = \frac{3}{2} \\ x_{2} = 1$

Получили 2 точки возможного экстремума. Так как 12/11 < 1.5, то точка 1.5 не попадает в данный промежуток, поэтому проверяем поведение производной в окрестностях 1.

Возьмём точку 0.95 < 1. Подставляем в производную:

$4 \times 0.95 - 10 + \frac{6}{0.95} = \frac{11}{95}$

Число положительное, следовательно функция возрастает.

Берём точку 1.05 > 1. Подставляем в производную:

$4 \times 1.05 - 10 + \frac{6}{1.05} = - \frac{3}{35}$

Число отрицательное, следовательно функция убывает.

Ситуация такая: слева от 1 функция возрастает, а справа – убывает, а это значит что точка 1 является наибольшим значением функции. Подставим точку 1 в функцию:

$y = 2 - 10 + 0 - 3 = -11$

Ответ: -11

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение функции y = 2x² - 10x + 6lnx - 3 на отрезке [10/11;12/11], мы должны найти точку, где производная функции равна нулю или не существует. Затем мы проверяем значения функции в этой точке и на концах отрезка, чтобы определить наибольшее значение.

1. Найдем производную функции y по x: y' = 4x - 10 + 6/x = 4x + 6/x - 10

2. Решим уравнение y' = 0: 4x + 6/x - 10 = 0

Умножим обе части уравнения на x: 4x² + 6 - 10x = 0

Полученное уравнение является квадратным, давайте решим его с использованием квадратного корня:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Где a = 4, b = -10 и c = 6: x = (-(-10) ± √((-10)² - 4 * 4 * 6)) / (2 * 4) = (10 ± √(100 - 96)) / 8 = (10 ± √4) / 8 = (10 ± 2) / 8

Таким образом, получаем два возможных значения для x: x₁ = (10 + 2) / 8 = 3/2 и x₂ = (10 - 2) / 8 = 1.

3. Проверим значения функции в точках x₁, x₂ и на концах отрезка:

   Для x = 10/11: y = 2(10/11)² - 10(10/11) + 6ln(10/11) - 3 ≈ -6.076

   Для x = 3/2: y = 2(3/2)² - 10(3/2) + 6ln(3/2) - 3 ≈ -4.805

   Для x = 12/11: y = 2(12/11)² - 10(12/11) + 6ln(12/11) - 3 ≈ -5.799

   Для x = 1: y = 2(1)² - 10(1) + 6ln(1) - 3 = -11

Наибольшее значение функции достигается при x = 10/11 и равно примерно -6.076.