Question

Найти экстремум функции z=xy^2(1-x-y)

Answer 1

Ответ:

(0=y²(-x-y+1)-xy²)=0

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции z=xy^2(1-x-y), мы должны взять ее частные производные по переменным x и y и приравнять их к нулю.

Частная производная по x: dz/dx = y^2(1 - x - y) - xy^2(-1) = y^2 - y^2x - y^3 + xy^2 = y^2 - y^2x - y^3 + xy^2

Частная производная по y: dz/dy = 2xy(1 - x - y) + xy^2(-1) = 2xy - 2xy^2 - xy^2

Теперь приравняем эти производные к нулю и решим систему уравнений:

dz/dx = 0: y^2 - y^2x - y^3 + xy^2 = 0 dz/dy = 0: 2xy - 2xy^2 - xy^2 = 0

Мы можем упростить второе уравнение, разделив его на xy:

2 - 2y - y = 0 3y = 2 y = 2/3

Подставим это значение обратно в первое уравнение:

(2/3)^2 - (2/3)^2x - (2/3)^3 + x(2/3)^2 = 0 4/9 - 4/9x - 8/27 + 2/9x = 0 4/9 - 8/27 = 2/9x - 4/9x 12/27 - 8/27 = -2/9x 4/27 = -2/9x x = -4/27 * 9/-2 x = 4/6 x = 2/3

Таким образом, получаем две точки экстремума: (x, y) = (2/3, 2/3) и (x, y) = (2/3, 2/3).

Для определения типа экстремума (минимум или максимум) необходимо выполнить вторую производную тестировку или проанализировать поведение функции в окрестности этих точек.