Question

Исследовать функцию у=х^3-3х и построить ее график.

Answer 1

F(x)=x^3-3x
- кубическая функция
- график - кубическая парабола
- D(x) ∈ (-∞;+∞) - область определения - множество всех действительных
                            чисел
- E(y) ∈ (-∞;+∞) - область значений - все действительные числа
- нули функции: (0;0): x^3-3x=0 => x=0; y=0^3-3*0 => y=0
- точка нуля функции (0;0) делит кубическую параболу на две ветви, симметричные относительно начала координат
- min x₁=1; max x₂=-1 => функция возрастает на промежутке (-1;1),
                                          убывает на промежутке (-∞;-1)∪(1;+∞)
- экстремумы: f`(x)=3x^2-3 => 3x^2-3=0 => x₁=1; x₂=-1 → (1;-2), (-1;2)
- 2-ая производная: f`(x)=6x, 6x=0 => x=0 => (-∞;0) - выпуклая;
                                                                         (0;+∞) -  вогнутая
- x^3-3x≠-x^3+3x; x^3-3x≠-(-x^3)-3x => функция не четная и не нечетная
     График во вложении

Answer 2

Конечно! Я могу помочь вам исследовать функцию y = x^3 - 3x и построить ее график.

Для начала, давайте рассмотрим основные характеристики этой функции.

1. Нахождение корней: Для найти корни функции, мы должны решить уравнение x^3 - 3x = 0. Раскладывая его на множители, получим: x(x^2 - 3) = 0.

Таким образом, корни функции y = x^3 - 3x равны x = 0, x = -√3 и x = √3.

2. Поведение функции на бесконечности: Поскольку функция является полиномом с наивысшей степенью 3, она будет иметь одно из следующих поведений на бесконечности:

• Если коэффициент при наивысшей степени положительный, то функция будет стремиться к плюс бесконечности при x -> +∞ и к минус бесконечности при x -> -∞.
• Если коэффициент при наивысшей степени отрицательный, то функция будет стремиться к минус бесконечности при x -> +∞ и к плюс бесконечности при x -> -∞.

В данном случае у нас коэффициент при наивысшей степени равен 1, поэтому функция будет стремиться к плюс бесконечности при x -> +∞ и к минус бесконечности при x -> -∞.

3. Определение поведения функции в окрестности корней:

• В окрестности корня x = 0, функция будет менять свой знак с плюса на минус. То есть, при x < 0 функция будет положительной, а при x > 0 функция будет отрицательной.
• В окрестности корней x = -√3 и x = √3, функция также будет менять свой знак с плюса на минус и наоборот. При x < -√3 и при x > √3 функция будет положительной, а в интервале -√3 < x < √3 функция будет отрицательной.

Теперь мы можем построить график функции y = x^3 - 3x:

pythonCopy code
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-3, 3, 400)
y = x**3 - 3*x

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции y = x^3 - 3x')
plt.grid(True)
plt.axhline(0, color='black', lw=0.5)
plt.axvline(0