Question

Решить дифференциальное уравнение 1-го порядка: y'=((2*x)-1)*ctg(y)

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения 1-го порядка y' = ((2*x) - 1) * ctg(y), мы можем использовать метод разделения переменных. Процесс решения будет состоять из следующих шагов:

Шаг 1: Преобразование уравнения

Перепишем уравнение в виде:

ctg(y) dy = ((2*x) - 1) dx

Шаг 2: Интегрирование

Проинтегрируем обе части уравнения:

∫ctg(y) dy = ∫((2*x) - 1) dx

Для интегрирования левой части, мы можем использовать замену переменных. Обозначим z = cos(y), тогда dz = -sin(y) dy. Подставим это в левую часть:

∫(-dz/sin(y)) = ∫((2*x) - 1) dx

-∫(dz/sin(y)) = ∫((2*x) - 1) dx

-∫(dz/(√(1 - z^2))) = ∫((2*x) - 1) dx

Для интегрирования правой части, мы просто интегрируем каждый член:

-∫(dz/(√(1 - z^2))) = (x^2 - x) + C

Здесь C - постоянная интегрирования.

Шаг 3: Выражение y

Используя замену переменных z = cos(y), мы можем выразить y:

z = cos(y)

cos(y) = z

y = arccos(z)

Таким образом, получаем окончательное решение:

y = arccos((x^2 - x + C) / √(1 - z^2))

Где z = cos(y).