Question

Проверить что четыре точки А(3;-1;2) В(1;2;-1) С(-1;1;-3) D(3;-5;3) служат вершинами трапеции

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

Для проверки этих условий вычислим векторы:

АВ=(1-3;2-(-1);-1-2)=(-2;3;-3)

ВС=(-1-1;1-2;-3-(-1))=(-2;-1;-2)

CD=(3-(-1);-5-1;3-(-3))=(4;-6;6)

DA=(3-3;-1-(-5);2-3)=(0;4;-1)

Теперь проверим вычисленные векторы на коллинеарность. Этого достаточно для вывода о параллельности, т.к. координаты точек не совпадают.

Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что

а=n×b.

Как видно из координат векторов, таких вектора у нас 2: АВ и CD, т.к.

АВ×(-2)=СD.

Теперь проверим условие, что длины сторон (т.е. векторов) не равны между собой.

|AB|=$\sqrt{(-2)^{2}+3^{2}+(-3)^{2} } =\sqrt{4+9+9} =\sqrt{40}$

|BC|=$\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2} } =\sqrt{4+1+4} =\sqrt{9} =3$

|CD|=$\sqrt{4^{2} +(-6)^{2}+6^{2} } =\sqrt{16+36+36} =\sqrt{88}$

|DA|=$\sqrt{0^{2}+4^{2}+(-1)^{2} } =\sqrt{0+16+1} =\sqrt{17}$

Как видим, ни один из векторов не имеет одинаковую длину с каким-либо другим из четырёх имеющихся.

Все условия соблюдены. Значит АВСD - трапеция.

Answer 2

Чтобы проверить, что четыре точки A(3;-1;2), B(1;2;-1), C(-1;1;-3) и D(3;-5;3) являются вершинами трапеции, мы можем использовать определение трапеции.

Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Давайте проверим это условие для данных точек.

1. Вычислим векторы, соединяющие вершины трапеции: AB = B - A = (1 - 3, 2 - (-1), (-1) - 2) = (-2, 3, -3) BC = C - B = (-1 - 1, 1 - 2, (-3) - (-1)) = (-2, -1, -2) CD = D - C = (3 - (-1), (-5) - 1, 3 - (-3)) = (4, -6, 6) DA = A - D = (3 - 3, (-1) - (-5), 2 - 3) = (0, 4, -1)

2. Проверим параллельность сторон AB и CD. Для этого проверим, равны ли векторы AB и CD или их скалярное произведение равно 0: AB · CD = (-2)(4) + (3)(-6) + (-3)(6) = -8 - 18 - 18 = -44

   Так как AB · CD не равно 0, стороны AB и CD не параллельны.

3. Проверим параллельность сторон BC и DA. Для этого проверим, равны ли векторы BC и DA или их скалярное произведение равно 0: BC · DA = (-2)(0) + (-1)(4) + (-2)(-1) = 0 + (-4) + 2 = -2

   Так как BC · DA не равно 0, стороны BC и DA не параллельны.

Таким образом, стороны AB и CD не параллельны, а стороны BC и DA также не параллельны. Поэтому данные точки A(3;-1;2), B(1;2;-1), C(-1;1;-3) и D(3;-5;3) не являются вершинами трапеции.