Question

Решите уравнение y'+3y/x-2/x^3=0

Answer 1

Ответ:           y =  2x⁻² + Cx⁻³ .

Пошаговое объяснение:

y'+ 3y/x - 2/x³ = 0 ;

спочатку рішаємо однорідне диф. рівняння :  dy/dx = - 3y/x ;

dy/y = - 3dx/x ;  інтегруємо :

∫ dy/y = - 3∫dx/x ;

ln│y│ = - 3 ln│x│ + ln│C│;

│y│ = │C/x³│;      y = Cx⁻³ ; - розв"язок однорідного диф. рівняння .

Диференціюємо його і підставляємо  у початкове рівняння :

y' = ( Cx⁻³ )' = C' x⁻³ - 3Cx⁻⁴ .  Підставляємо :

C' x⁻³ - 3Cx⁻⁴ +( Cx⁻³)/x - 2/x³ = 0 ;

C' /x³ = 2 /x³ ;    C' = 2 ;   C = ∫ 2 dx = 2x + C₁ ; отже , у = ( 2х + С₁)/х³ =

= 2x⁻² + Cx⁻³ ;         y =  2x⁻² + Cx⁻³ .

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение:

y' + (3y/x) - (2/x^3) = 0

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать метод разделения переменных. Для этого перепишем уравнение в следующем виде:

y' + (3y/x) = (2/x^3)

Затем переместим все слагаемые, содержащие y, в одну сторону, а все слагаемые, содержащие x, в другую сторону:

y' + (3y/x) = (2/x^3)

y' = (2/x^3) - (3y/x)

Теперь разделим уравнение на (2/x^3 - 3y/x):

(1/y)dy = (2/x^3 - 3y/x)dx

Интегрируем обе части уравнения:

∫(1/y)dy = ∫(2/x^3 - 3y/x)dx

ln|y| = -2/(2x^2) - (3/2)ln|x| + C

где C - произвольная постоянная.

Используя свойства логарифма, мы можем переписать это уравнение в следующем виде:

ln|y| = -1/(x^2) - (3/2)ln|x| + C

Возведем обе части уравнения в экспоненту:

|y| = e^(-1/(x^2)) * e^(-(3/2)ln|x| + C)

Поскольку y может быть положительным или отрицательным, мы можем убрать модуль на левой стороне:

y = ± e^(-1/(x^2)) * e^(-(3/2)ln|x| + C)

Упрощая эту формулу, получаем окончательное решение уравнения:

y = ± e^(-1/(x^2)) * x^(-3/2) * e^C

где e^C - новая произвольная постоянная.