Question

Найти интеграл tg^2xdx (применить формулу 1+tg^2a=1/cos^2a)​

Answer 1

$\int tg^2x\, dx=\int \Big(\dfrac{1}{cos^2x}-1\Big)\, dx=tgx-x+C$

Answer 2

Для решения данного интеграла воспользуемся формулой 1 + tg^2a = 1/cos^2a.

Интеграл tg^2(x)dx = ∫(1 - cos^2(x))/cos^2(x) dx

Разделим числитель и знаменатель на cos^2(x):

∫(1 - cos^2(x))/cos^2(x) dx = ∫(sec^2(x) - 1)dx

Теперь можем проинтегрировать:

∫(sec^2(x) - 1)dx = ∫sec^2(x)dx - ∫dx

Интеграл ∫sec^2(x)dx равен tg(x):

∫sec^2(x)dx = tg(x)

Интеграл ∫dx равен x:

∫dx = x

Получаем:

∫tg^2(x)dx = tg(x) - x + C

где C - произвольная постоянная.