Question

Осевым сечением усечённого конуса является равнобедренная трапеция, у которой острый угол равен 45° , средняя линия - 15 см., диагональ - 17 см.. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса

Answer 1

Ответ:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна 120√2 π см².

Пошаговое объяснение:

Требуется найти площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Дано: Усеченный конус.

ABCD - равнобедренная трапеция, осевое сечение.

∠А = 45°;

МК = 15 см - средняя линия ABCD;

AC = 17 см - диагональ.

Найти: S боковой поверхности усеченного конуса.

Решение:

Проведем высоту CН.

Площадь боковой поверхности найдем по формуле:

                   S бок = π (r + R) · l ,

где r и R - радиусы оснований, l - образующая.

Нам необходимо найти r, R, и l.

1. Рассмотрим ΔАСН - прямоугольный.

• В равнобедренной трапеции высота, опущенная  из вершины тупого угла на большее основание, делит его на части, большая из которых равна полусумме оснований.

Также

• Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

⇒ АН = МК = 15 см.

По теореме Пифагора:

СН² = АС² - АН² = 289 - 225 = 64

СН = √64 = 8 (см)

2. Рассмотрим ΔHCD - прямоугольный.

• В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

⇒ ∠А = ∠D = 45°.

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠НСD = 90° - 45° = 45°.

• Если в треугольнике два угла равны, этот треугольник равнобедренный.

⇒ ΔHCD - равнобедренный.

СН = HD = 8 см.

По теореме Пифагора:

CD² = HD² + CH² = 64 +64 = 128

CD = √128 = 8√2 (см) - образующая конуса.

3. Большее основание AD равно

AD = AH + HD = 15 + 8 = 23 (см)

Зная среднюю линию МК, найдем меньшее основание ВС:

MK = (BC + AD) : 2

15 = (ВС +23) : 2

30 = ВС + 23

ВС = 7 (см)

4. Найдем площадь боковой поверхности данного усеченного конуса.

ВС - диаметр меньшего основания конуса;

⇒ r = BC : 2 = 7 : 2 = 3,5 (см)

AD - диаметр большего основания конуса;

⇒ R = AD : 2 = 23 : 2 = 11,5 (см)

S бок. = π (3,5 + 11,5) · 8√2 = 120√2 π (см²)

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна 120√2 π см².

Answer 2

Для нахождения площади боковой поверхности усеченного конуса, используем формулу:

S = π(R1 + R2)l,

где S - площадь боковой поверхности, R1 и R2 - радиусы оснований усеченного конуса, l - образующая.

Дано, что осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция с острым углом 45°, средняя линия равна 15 см и диагональ равна 17 см.

Средняя линия трапеции соответствует полусумме радиусов оснований усеченного конуса:

R1 + R2 = 2 × средняя линия.

R1 + R2 = 2 × 15 см = 30 см.

Также, образующая l является диагональю трапеции:

l = диагональ = 17 см.

Подставляем значения в формулу:

S = π(30 см) × (17 см) = 510π см².

Ответ: Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна 510π квадратных сантиметров.