Question

Исследовать функцию y=x^3-6x^2+9x на экстремум. Найти промежутки возрастания и убывания данной функции

Answer 1

Решение
y = x³ - 6*(x²) + 9*x
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = 3x² - 12x + 9
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
3x² - 12x + 9 = 0 делим на 3
x² - 4x + 3 = 0
Откуда:
x₁ = 1
x₂ = 3
(-∞ ;1)  f'(x) > 0   функция возрастает
 (1; 3)    f'(x) < 0  функция убывает
(3; +∞)   f'(x) > 0      функция возрастает
В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 1 - точка максимума.
 В окрестности точки x = 3 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 3 - точка минимума.

Answer 2

Найдем производную функции: y' = 3x^2 - 12x + 9
Решим уравнение y' = 0: 3x^2 - 12x + 9 = 0
Делим обе части на 3: x^2 - 4x + 3 = 0
( x - 1 ) * ( x - 3 ) = 0
Найдем значения функции в точках x = 1 и x = 3:
y(1) = 1^3 - 6*1^2 + 9*1 = 4
y(3) = 3^3 - 6*3^2 + 9*3 = 0
Таким образом, в точке x = 1 достигается локальный минимум функции с минимальным значением y = 4. В точке x = 3 достигается локальный максимум функции с максимальным значением y = 0.
Теперь исследуем знак производной на промежутках между и за пределами найденных корней:
для x < 1: y' < 0
для 1 < x < 3: y' > 0
для x > 3: y' < 0
Таким образом, функция возрастает на промежутке (1,3) и убывает на промежутках (-∞,1) и (3,+∞).