Question

(ctgx+1)²+(ctgx-1)²=2/sin²x. Доказать тождество. ​

Answer 1

Ответ:(ctg(a) +1 )^2 + (ctg(a) - 1)^2 = 2/sin^2(a).

Пошаговое объяснение:

Используя формулы формулой квадрата разности (a - b)^2 = a^2 - 2 * a * b + b^2 и квадрата суммы (a + b)^2 = a^2 + 2 * a * b + b^2, раскроем скобки в левой части данного выражения и приведем подобный слагаемые:

(ctg(a) +1 )^2 + (ctg(a) - 1)^2 = 2/sin^2(a) = ctg^2(a) + 2ctg(a) + 1 + ctg^2(a) - 2ctg(a) + 1

ctg^2(a) + ctg^2(a) + 2ctg(a) - 2ctg(a) + 1 + 1 = 2ctg^2(a) + 2 = 2 * (ctg^2(a) + 1).

Так как ctg(a) = cos(a)/sin(a), получаем:

2 * (ctg^2(a) + 1) = 2 * ((cos(a)/sin(a))^2 + 1) = 2 * (cos^2(a)/sin^2(a) + 1) = 2 * (cos^2(a) + sin^2(a)) /sin^2(a).

Используя тождество cos^2(a) + sin^2(a) = 1, получаем:

2 * (cos^2(a) + sin^2(a)) /sin^2(a) = 2/sin^2(a).

Answer 2

Начнем с левой части уравнения:

(ctgx+1)²+(ctgx-1)²=

= ctg²x + 2ctgx + 1 + ctg²x - 2ctgx + 1

= 2ctg²x + 2

Затем заметим, что ctg²x + 1 = csc²x, так как:

ctg²x + 1 = 1/sin²x + cos²x/sin²x

= (1 + cos²x)/sin²x

= 1/sin²x

= csc²x

Тогда левая часть уравнения может быть переписана так:

2ctg²x + 2 = 2csc²x/sin²x = 2/sin²x

что и требовалось доказать.