Question

В многоквартирном доме несколько подъездов, в каждом — одинаковое число этажей (больше одного). На всех этажах всех подъездов одинаковое число квартир (больше одной). Известно, что в каждом подъезде не больше 35 квартир. Сколько подъездов в этом доме, если всего в нём 273 квартиры?

Answer 1

Ответ:

13 квартир

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Пусть в каждом подъезде $n$ этажей и $m$ квартир на этаже. Тогда общее число квартир в каждом подъезде равно $nm$, и общее число квартир во всем доме равно $nmk$, где $k$ — количество подъездов. Условие $nm\leq 35$ означает, что в каждом подъезде не более 35 квартир.

Из условия $nmk = 273$ следует, что $3|k$, так как число 273 делится на 3. С другой стороны, $k\leq \frac{273}{2}$, так как в каждом подъезде должно быть хотя бы 2 квартиры.

Мы знаем, что $k$ делится на 3, и при этом $k\leq \frac{273}{2} < 138$. Поэтому единственными возможными значениями для $k$ являются 3, 6, 9, 12, \ldots , 135. Для каждого из этих значений $k$ можно легко найти соответствующее число квартир на этаже: $nm = \frac{273}{k}$. Если условие $nm \leq 35$ выполняется, то полученное значение $k$ является искомым ответом.

Однако некоторые значения $k$ можно исключить заранее. Например, если $k>9$, то $nm = \frac{273}{k} < \frac{273}{9} = 30\frac13$, так что $35\geq nm > 30$, и каждый этаж должен иметь не менее 4 квартир на каждом этаже. Это означает, что на каждом этаже будет не менее $4n$ квартир, что в сумме дает не менее $4nk$ квартир в доме. Если $k>9$, то $4nk > 4\cdot 9\cdot 30 = 1080$, что превышает общее число квартир в доме, а значит, такие значения $k$ не подходят.

Таким образом, мы можем рассматривать только значения $k\leq 9$. Перебирая эти значения, мы находим, что подъездов в доме может быть только $\boxed{6}$: в каждом из шести подъездов по 13 этажей и по 7 квартир на этаже.