Question

В прямоугольном треугольнике АВС катет АС=20, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 3 корня из 39. Найдите косинус угла САВ

Answer 1

Так как СН- высота, то ΔСНА прямоугольный. Найдём его сторону АН по теореме Пифагора: АН=√(20²-9*39) =√49=7
Угол САВ равен углу САН, а косинус -это отношение прилежащего катета к гипотенузе, поэтому он равен 7/ 20.
Ответ: 7/ 20

Answer 2

Используя соотношение между катетом и высотой, можно найти длину гипотенузы треугольника АВС:
$$
AB^2 = AC^2 - BC^2 = 20^2 - (3\sqrt{39})^2 = 244
$$
$$
AB = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}
$$
Теперь применим определение косинуса угла:
$$
\cos{\angle SAV} = \frac{AS}{AB}
$$
Заметим, что треугольник СНА также прямоугольный, и можно найти длину стороны AN:
$$
AN^2 = AC^2 - CN^2 = 20^2 - (3\sqrt{39})^2 = 244
$$
$$
AN = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}
$$
Тогда
$$
AS = AN \cdot \sin{\angle CAN} = AN \cdot \frac{CN}{AC} = 2\sqrt{61} \cdot \frac{3\sqrt{39}}{20} = \frac{9}{2} \sqrt{61}
$$
И, наконец,
$$
\cos{\angle SAV} = \frac{AS}{AB} = \frac{\frac{9}{2} \sqrt{61}}{2\sqrt{61}} = \frac{9}{4}
$$
Ответ: $\cos{\angle SAV} = \frac{9}{4}$.