Question

Полоску бумаги разрезали на три части. После этого самую большую из полученных частей снова разрезали на три части. Затем снова самую большую из полученных частей разрезали на три части. Так поступали много раз: на каждом шаге самую большую часть разрезали на три части. Могло ли в итоге получится 300 частей? Пжжжжж помогите уже час думаю

Answer 1

Ответ:

Нет, не могло.

Пошаговое объяснение:

Если кусок бумаги разрезать на три части, то общее количество частей увеличится на 2. Значит, общее количество частей после каждого шага будет нечётным. А 300 - это натуральное четное число. Значит, 300 частей получиться не могло.

Answer 2

Да, могло.

Пусть изначально полоска бумаги была длиной 1. Тогда после первого разрезания самая большая часть будет иметь длину 1/3, а две оставшиеся - по 2/9. Каждую из этих двух частей мы тоже будем разделять на три части, таким образом, на следующем шаге самая большая - это одна из 2/9-частей, которая станет длиной 2/27, а на следующем - 2/81 и т.д.

Таким образом, получится бесконечная последовательность длин:

1/3, 2/9, 2/9, 4/81, 4/81, 4/81, 8/729, 8/729, 8/729, ...

Эта последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем 3/2. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле
S = a/(1-q),
где a - первый член прогрессии (в данном случае 1/3), q - знаменатель прогрессии (3/2).

В нашем случае S = (1/3)/(1 - 3/2) = 1/3 / (-1/2) = -2/3.

Таким образом, если продолжать бесконечно дробить самую большую из частей, то получим бесконечное число частей. Однако, если закончить процесс после n шагов, то число частей будет равно числу частей, получаемых при сложении первых n членов этой последовательности.

Для n=4, например, получаем сумму

1/3 + 2/9 + 2/9 + 4/81 = 77/243,

что меньше, чем 300. Однако, можно найти такое n, при котором сумма первых n членов превышает 300. Для этого можно решить уравнение

1/3 (1 - (3/2)^n)/(1 - 3/2) > 300,

что дает n≈20. Но количество получаемых частей будет немного больше, чем 300, потому что мы нарушаем условие и делим не самую большую, а одну из двух равных по размеру частей после первого разрезания.