Question

Решите уравнение (2-√3)^x+(2+√3)^x-2=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

(2 - √3)ˣ + (2 + √3)ˣ - 2 = 0

Умножим каждый член уравнения на (2 + √3)ˣ

(2 - √3)ˣ · (2 + √3)ˣ + (2 + √3)²ˣ - 2 · (2 + √3)ˣ = 0

(4 - 3)ˣ + (2 + √3)²ˣ - 2 · (2 + √3)ˣ = 0

1 + (2 + √3)²ˣ - 2 · (2 + √3)ˣ = 0

Сделаем замену t = (2 + √3)ˣ = 0

t² - 2t + 1 = 0

(t -1)² = 0

t = 1

Возвращаемся к замене

(2 + √3)ˣ = 1

или

(2 + √3)ˣ = (2 + √3)⁰

х = 0

Answer 2

Дано уравнение:

(2 - √3)^x + (2 + √3)^x - 2 = 0

Заметим, что (2 + √3) > (2 - √3) > 1, следовательно, выражение (2 - √3) является корнем уравнения x^2 - 4x + 1 = 0, а выражение (2 + √3) является корнем этого же уравнения, только со знаком минус.

Таким образом, уравнение можно переписать в следующем виде:

(2 - √3)^x + (2 - √3)^x - 4(2 - √3)^x + 2 = 0

Обозначим y = (2 - √3)^x. Тогда уравнение примет вид:

y^2 - 4y + 1 = 0

Решая это квадратное уравнение, находим два значения:

y1 = 2 + √3 и y2 = 2 - √3.

Заметим, что y1*y2 = 1. Следовательно, решениями исходного уравнения являются:

y1^x + y2^x - 2 = 0 или (y1/y2)^x = 1.

Если (y1/y2)^x = 1, то x может принимать любое значение вида x = n, где n - целое число.

Если y1^x + y2^x - 2 = 0, то подставляем значения y1 и y2 и получаем:

(2 + √3)^x + (2 - √3)^x - 2 = 0

Это уравнение называется уравнением Ферма-Эйлера. Оно не имеет решений в целых числах, кроме тривиальных случаев x = 0 и x = 1.

Вещественные решения можно найти численно. Один из корней можно оценить как x ≈ 0.2049, а второй как x ≈ -1.7544.