Question

Найдите наибольшее натуральное n, при котором n^{300} меньше чем 9^{200}

Answer 1

n^300 < 9^200

n>0

так как обе части больше 0 то прологарифмируем с основанием больше 1, например 9

log(9) n^300 < log(9) 9^200

300 log(9) n < 200

log(9) n < 200/300

log(9) n < log(9) 9^2/3

n < ∛81  

n=4 максимум

=========

64 < 81 < 125

∛64 < ∛81 <∛125

4 < ∛81 < 5

Answer 2

Нам нужно найти наибольшее натуральное число n, при котором $n^{300}<9^{200}$.

Мы можем преобразовать правую часть этого неравенства, заметив, что $9^{200}=(3^2)^{200}=3^{400}$, таким образом:

$n^{300}<3^{400}$

Теперь возведем обе части этого неравенства в степень $\frac{2}{3}$, чтобы избавиться от $n$ в знаменателе и получить:

$n^{200}<3^{\frac{800}{3}}$

Теперь возведем обе части этого неравенства в степень $\frac{3}{800}$, чтобы избавиться от степени 3 в знаменателе и получить:

$n<\left(3^{\frac{800}{3}}\right)^{\frac{3}{800}}=3^{\frac{200}{3}}$

Таким образом, наибольшее натуральное n, удовлетворяющее данному неравенству, равно наибольшему целому числу, которое меньше $3^{\frac{200}{3}}$. Используя калькулятор, можно найти, что это число равно 387.

Таким образом, ответ: $n=387$.