Question

При каких значениях параметра p уравнение |x-4|=px-2 имеет два различных корня

Answer 1

$> <img src=$

Answer 2

Начнем с рассмотрения возможных значений параметра p. Заметим, что если p=0, то уравнение принимает вид:

|x - 4| = -2

Что невозможно, так как модуль всегда неотрицателен. Значит, p ≠ 0.

Далее, рассмотрим три случая, в зависимости от знака выражения (x - 4):

1. Если x ≥ 4, то |x - 4| = x - 4, и уравнение принимает вид:

(x - 4) = p(x - 2)

x - 4 = px - 2p

(1 - p)x = 4 - 2p

x = (4 - 2p)/(1 - p)

Для того, чтобы это уравнение имело решение при x ≥ 4, необходимо, чтобы:

4 - 2p ≥ 4

-2p ≥ 0

p ≤ 0

2. Если x < 4, то |x - 4| = 4 - x, и уравнение принимает вид:

(4 - x) = p(x - 2)

4 - x = px - 2p

(p - 1)x = 4 + 2p

x = (4 + 2p)/(1 - p)

Для того, чтобы это уравнение имело решение при x < 4, необходимо, чтобы:

4 + 2p < 4

2p < 0

p < 0

3. Если x = 4, то уравнение принимает вид:

|0| = -2

Что невозможно, так как модуль всегда неотрицателен.

Таким образом, для того, чтобы уравнение |x-4|=px-2 имело два различных корня, параметр p должен удовлетворять неравенству:

p < 0.