Question

Найти координаты точки на одинаковом расстоянии от x + 2y-12 = 0 и x + y-5 = 0, 7x-y + 11 = 0.

Answer 1

Даны прямые x + 2y - 12 = 0, x + y - 5 = 0 и 7x - y + 11 = 0, которые, пересекаясь, образуют треугольник.

Находим вершины его как точки пересечения.

Точка А. x + 2y - 12 = 0               x + 2y - 12 = 0

             7x - y + 11 = 0 |x2 =      14x - 2y + 22 = 0   сложение      

                                                   15x       + 10  = 0

x = -10/15  =  -2/3,    y = (12 - x)/2 = (12 - (-2/3)/2 = 6+(1/3) = 19/3.

Точка В. x + 2y - 12 = 0

              x + y - 5 = 0       вычитание

                     у  - 7   = 0    у = 7,   х = 5 - у = 5 - 7 = -2.

Точка С.  x + y - 5 = 0

              7x - y + 11 = 0    сложение  

               8х      + 6 = 0     х = -6/8 = -0,75,      у = 5 - х = 5 - (-3/4) = 5,75.

По координатам находим длины сторон треугольника.

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) =   1,490711985

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) =   1,767766953

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) =   0,589255651

Полупериметр равен  р =  1,92387 .

Площадь треугольника находим по формуле Герона.

S = √p(p-a)(p-b)(p-c)). Подставив длины сторон, находим S = 0,416667 .

Точка, находящаяся на одинаковом расстоянии от прямых, являющимися сторонами треугольника, - это центр вписанной окружности. Её радиус равен r = S/p = 0,216578.

Координаты точки пересечения биссектрис треугольника         (центра вписанной окружности) определяются соотношениями:        x0=(ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),y0=(ay1+by2+cy3)/(a+b+c)      

где a=BC, b=AC, c=AB.      

Подставив значения, получаем координаты искомой точки:

Xro = -0,903144

Yro = 6,209434.

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться формулой для расстояния между двумя прямыми:

d = |(Ax + By + C)/sqrt(A^2 + B^2)|

где A, B, и C - коэффициенты уравнения прямой Ax + By + C = 0, а d - расстояние между этой прямой и началом координат.

Мы хотим найти точку, которая находится на одинаковом расстоянии от всех трех данных прямых, поэтому мы можем использовать следующий подход:

1. Найдем расстояние от начала координат до каждой из трех прямых.
2. Предположим, что искомая точка имеет координаты (x, y).
3. Найдем расстояние от этой точки до каждой из трех прямых.
4. Приравняем найденные расстояния, чтобы найти x и y.

Таким образом, мы можем решить эту задачу следующим образом:

1. Расстояние от начала координат до первой прямой x + 2y - 12 = 0: d1 = |(-12)/sqrt(1^2 + 2^2)| = 6sqrt(5)

2. Расстояние от начала координат до второй прямой x + y - 5 = 0: d2 = |(-5)/sqrt(1^2 + 1^2)| = 5sqrt(2)

3. Расстояние от начала координат до третьей прямой 7x - y + 11 = 0: d3 = |(11)/sqrt(7^2 + (-1)^2)| = 11/sqrt(50)

4. Допустим, что искомая точка имеет координаты (x, y). Тогда расстояние от этой точки до первой прямой будет:

d4 = |(x + 2y - 12)/sqrt(1^2 + 2^2)| = |(x + 2y - 12)/sqrt(5)|

Расстояние от этой точки до второй прямой будет:

d5 = |(x + y - 5)/sqrt(1^2 + 1^2)| = |(x + y - 5)/sqrt(2)|

И, наконец, расстояние от этой точки до третьей прямой будет:

d6 = |(7x - y + 11)/sqrt(7^2 + (-1)^2)| = |(7x - y + 11)/sqrt(50)|

5. Так как искомая точка должна находиться на одинаковом расстоянии от всех трех прямых, то мы можем записать следующую систему уравнений:

|(x + 2y - 12)/sqrt(5)| = |