Question

Решите уравнение: корень(2x-6)-корень(x+1)=2

Answer 1

Ответ: x=35.

Пошаговое объяснение:

√(2x-6)-√(x+1)=2

ОДЗ:

{2x-6≥0                       {2x≥6  |÷2                  {x≥3

{x+1≥0                          {x≥-1                           {x≥-1      

{√(2x-6)-√(x+1)>0        {√(2x-6)>√(x+1)         {(√(2x-6))²>(√(x+1)²

{x≥3                          {x≥3

{x≥-1                          {x≥-1

{2x-6>x+1                  {x>7           ⇒        x∈(7;+∞)

√(2x-6)=2+√(x+1)

(√(2x-6))²=(2+√(x+1))²

2x-6=4+4*√(x+1)+x+1

4*√(x+1)=x-11

(4*√(x+1))²=(x-11)²

16*(x+1)=x²-22x+121

16x+16=x²-22x+121

x²-38x+105=0     D=1024     √D=32

x₁=3 ∉ОДЗ       x₂=35 ∈ОДЗ.

Answer 2

Начнем с возведения обеих частей уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

scssCopy code
√(2x-6) - √(x+1) = 2

=> ( √(2x-6) - √(x+1) )^2 = 2^2

=> (2x-6) + (x+1) - 2√[(2x-6)(x+1)] = 4

=> 3x - 5 - 2√[2x^2 - 11x + 6] = 4

Теперь перенесем все слагаемые, не содержащие корня, на одну сторону уравнения, а все слагаемые с корнем - на другую:

cssCopy code
3x - 5 - 4 = 2√[2x^2 - 11x + 6]

=> 3x - 9 = 2√[2x^2 - 11x + 6]

Возводим обе части уравнения в квадрат еще раз:

rubyCopy code
(3x - 9)^2 = (2√[2x^2 - 11x + 6])^2

=> 9x^2 - 54x + 81 = 4(2x^2 - 11x + 6)

=> 9x^2 - 54x + 81 = 8x^2 - 44x + 24

Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения:

Copy code
x^2 - 5x + 19 = 0

Теперь применяем формулу корней квадратного уравнения:

makefileCopy code
x = [5 ± √(5^2 - 4·1·19)] / 2

x = [5 ± √(1)] / 2

x1 = 5/2 + 1/2 = 3
x2 = 5/2 - 1/2 = 2

Ответ: x = 3 или x = 2.