Question

Интеграл (x^4-x+1)÷(x^3-2x^+2x-2) Решите пожалуйста.

Answer 1

X^4-x+1÷(-x^3)-2, это один способ, ещё x^4-x+1÷x^3+2

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод дробей Лежандра или метод долгого деления для выражения дроби под интегралом в виде суммы простейших дробей. Давайте воспользуемся методом дробей Лежандра:

(x^4 - x + 1) / (x^3 - 2x^2 + 2x - 2) = A / (x - 1) + Bx + C / (x^2 - 2x + 2)

где A, B и C - неизвестные коэффициенты, которые мы должны определить.

Умножим обе стороны на знаменатель дроби:

(x^4 - x + 1) = A(x^2 - 2x + 2)(x) + Bx(x^3 - 2x^2 + 2x - 2) + C(x - 1)(x^3 - 2x^2 + 2x - 2)

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

x^4 - x + 1 = (A + B)x^4 + (-2A - 2B + C)x^3 + (2A - 2B + 2C)x^2 + (-2A + 2B - 2C)x + (2A - C)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений:

A + B = 0 -2A - 2B + C = 0 2A - 2B + 2C = 1 -2A + 2B - 2C = -1 2A - C = 1

Решая эту систему, мы находим:

A = 1/4 B = -1/4 C = 1/2

Теперь мы можем выразить наш интеграл в виде суммы интегралов простейших дробей:

(x^4 - x + 1) / (x^3 - 2x^2 + 2x - 2) = 1/4 * 1/(x - 1) - 1/4 * x + 1/2 * (x - 1)/(x^2 - 2x + 2)

Таким образом, интеграл будет иметь вид:

∫(x^4 - x + 1) / (x^3 - 2x^2 + 2x - 2) dx = 1/4 * ln|x - 1| - 1/8 * ln(x^2 - 2x + 2) - 1/8 * arctan((x - 1)/2) - 1/8 * (x^2/2 - x) + C

где C - произвольная постоянная.