Question

В классе 23 ученика, решали олимпиаду по математике. Известно, что любые два набрали разное число баллов. У 17 ребят баллов больше, чем у Васи, у 13 учеников меньше, чем у Пети.Сколько человек набрали баллов больше, чем Вася, но меньше, чем Петя.

Answer 1

Всего 23 разных ответа, т.к. в классе 23 ученика и каждые два из них набрали разное число баллов.

Составим шкалу полученных баллов и пронумеруем их от 1 до 23. 

Сначала идут 13 учеников с номерами от 1 до 13, потом идет Петя, потом х, который нам надо найти. Если с другого конца, то среди первых 13 учеников неизвестным номером идет Вася, потом х учеников, который нам надо найти, потом 17 учеников с баллами от 23-17 до 23, среди которых Петя. Т.е. это перекрывающие друг друга числовые множества.

Собираем всё сказанное выше вместе и подытоживаем:

23-17=6, значит группы учеников такие:

Номера
Группа I - 13 учеников с количеством баллов меньше, чем у Пети:
с 1 по 5 
Вася - 6-й
7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
Группа II - 17 учеников с количеством баллов больше, чем у Васи:
7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
Петя - 14-й
с 15 по 23

Получается, что номера 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 - это 7 учеников, которые набрали баллов больше, чем Вася, но меньше, чем Петя - ответ.

Answer 2

Из условия задачи следует, что Вася и Петя заняли два разных места в олимпиаде, и никто из остальных участников не может занять одно из этих двух мест.

Таким образом, остаются только три возможных варианта:

1. Вася занял первое место, Петя - второе.
2. Петя занял первое место, Вася - второе.
3. Кто-то другой занял первое и второе места.

Рассмотрим каждый из этих вариантов:

1. Если Вася занял первое место, то у 17 учеников должны быть баллы выше, чем у него. Однако в классе всего 23 ученика, так что это невозможно. Значит, этот вариант не подходит.
2. Если Петя занял первое место, то у 13 учеников должны быть баллы ниже, чем у него. Это означает, что оставшиеся 10 учеников заняли места среди 2-го и 23-го, и среди них должно быть хотя бы одно, кто набрал баллов больше, чем Вася, но меньше, чем Петя. Следовательно, ответ на задачу - 10.
3. Если кто-то другой занял первое и второе места, то оставшиеся 21 ученик должны занять места среди 3-го и 23-го. Среди них должно быть хотя бы одно, кто набрал баллов больше, чем Вася, но меньше, чем Петя. Следовательно, ответ на задачу - 21.

Таким образом, возможных ответов на задачу два: 10 и 21.