Question

Решите тригонометрическое уравнение: sin (Пи/10 - х/2)=корень из 2/2

Answer 1

Sin(π/10-x/2)=√2/2
π/4=π/10-x/2
x/2=π/10-π/4
x/2=-3π/20
x=-3π/10

Answer 2

Для решения данного уравнения нам необходимо преобразовать выражение синуса в более простую форму.

Используя формулу для разности аргументов синуса, получим:

sin (π/10 - x/2) = sin π/10 cos(x/2) - cos π/10 sin(x/2)

Заметим, что cos(π/10) = sin(3π/10) = корень из (5 + 2 * корень из 5) / 4, а sin(π/10) = корень из (5 - корень из 5) / 4.

Подставим эти значения и упростим выражение:

sin (π/10 - x/2) = корень из (5 - корень из 5) / 4 * cos(x/2) - корень из (5 + 2 * корень из 5) / 4 * sin(x/2)

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателей:

2 * sin (π/10 - x/2) = (корень из 5 - корень из 5/2) * cos(x/2) - (корень из 5 + корень из 5 * 2) / 2 * sin(x/2)

Обозначим a = корень из 5 - корень из 5/2 и b = (корень из 5 + корень из 5 * 2) / 2, тогда уравнение можно переписать в виде:

2 * sin (π/10 - x/2) = a * cos(x/2) - b * sin(x/2)

Воспользуемся формулой для синуса разности аргументов:

sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b

Тогда можем переписать наше уравнение:

2 * sin (π/10) * cos(x/2) - 2 * cos (π/10) * sin(x/2) = a * cos(x/2) - b * sin(x/2)

Разделим обе части уравнения на cos(x/2):

2 * tan (π/10) - 2 * tan (x/2) = a - b * tan (x/2)

Выразим tan(x/2):

2 * tan (x/2) + b * tan (x/2) = 2 * tan (π/10) - a

(2 + b) * tan (x/2) = 2 * tan (π/10) - a

tan (x/2) = (2 * tan (π/10) - a) / (2 + b)

Подставим значения a и b:

a = корень из 5 - корень из 5/2 = (корень из 20 - корень из 5) / 2

b = (корень из 5 + корень из 5 * 2) / 2 = (3 + корень из 5) / 2

Тогда получим:

tan (x/2) = (2 * tan (π/10) - (корень из 20 - корень из