Question

Помогите решить олимпиаду по математике В конце каждого урока физкультуры учитель проводит забег и дает победителю забега 4 конфеты, а всем остальным ученикам по 1. К концу четверти Петя заслужил 29 конфет, Коля 32, а Вася - 37. Известно, что один из них пропустил ровно один урок физкультуры, учавствуя в олипиаде по математике; остальные же уроков не пропустили. Кто из детей пропустил урок? Объясните свой ответ. Угол между двумя высотами остроугольного треугольника АБС равен 60 градусов и точка пересечения высот делит одну из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Докажите, что треугольник АБС равносторонний. Найдите такое трехзначное число, что произведение двухзначного числа, образованного первой и второй его цифрами, и двухзначного числа, образованного второй и третьей его цифрами, равно 494

Answer 1

1) Пусть уроков было N. Пусть Петя победил a раз, Коля b раз, Вася c раз.

Пусть Петя пропустил 1 урок, то есть был на N-1 уроке. Тогда:

Петя получил 4a + 1*(N-1-a) = N + 3a - 1 = 29 конфет.

Коля получил 4b + 1*(N-b) = N + 3b = 32 конфеты

Вася получил 4c + 1*(N-c) = N + 3c = 37 конфет

Из 1 уравнения получаем:

N + 3a = 30, N = 30 - 3a = 3(10 - a), то есть N кратно 3.

Тогда N - 3b и N - 3c тоже были бы кратны 3, но этого нет.

Значит, урок пропустил НЕ Петя.

Пусть урок пропустил Коля. Тогда получится:

Петя получил 4a + 1*(N-a) = N + 3a = 29 конфет.

Коля получил 4b + 1*(N-1-b) = N + 3b - 1 = 32 конфеты

Вася получил 4c + 1*(N-c) = N + 3c = 37 конфет

Тогда из 2 уравнения N + 3b = 33; N = 33 - 3b = 3(11 - b).

Получаем тоже самое: из 2 уравнения N кратно 3, а из 1 и 3 - нет.

Значит, урок пропустил Вася.

Петя получил 4a + 1*(N-a) = N + 3a = 29 конфет.

Коля получил 4b + 1*(N-b) = N + 3b = 32 конфеты

Вася получил 4c + 1*(N-1-c) = N + 3c - 1 = 37 конфет

Теперь из 3 уравнения: N = 38 - 3c, N на 3 не делится, все сходится.

Если написать 4 уравнение: a + b + c = N, то получаем систему:

{ N + 3a = 29

{ N + 3b = 32

{ N + 3c = 38

{ a + b + c = N

Но из этой системы получается N = 99/6 = 16,5, что невозможно.

Так что в задаче ошибка, но тем не менее

Ответ: урок пропустил Вася.

2) Я не знаю, как это доказать, с геометрией у меня сложности.

3) Это намного проще, чем 1)

494 = 2*13*19 = 13*38

Это число 138.

Answer 2

1. Решение олимпиадной задачи по математике:

Пусть x, y, z - количество уроков физкультуры, которые пропустили Петя, Коля и Вася соответственно. Тогда из условия задачи:

x + y + z = 3 (1)

4 + 1*(x-1) + 1*(y-1) + 1*(z-1) = 29 (2)

4 + 1*(x-1) + 1*(y-1) + 1*(z-1) = 32 (3)

4 + 1*(x-1) + 1*(y-1) + 1*(z-1) = 37 (4)

Решая систему уравнений (2)-(4), получаем:

x = 1, y = 2, z = 1

Таким образом, пропустил один урок физкультуры Петя. Ответ: Петя пропустил урок.

2. Решение геометрической задачи:

Пусть H1 и H2 - высоты треугольника АБС, проходящие через вершину А и точку пересечения высот. Тогда, по условию задачи, угол между H1 и H2 равен 60 градусов, а отношение AH1 : AH2 равно 2:1. Обозначим AH1 = 2x, AH2 = x.

Так как AH1 и AH2 являются высотами треугольника, то они перпендикулярны соответствующим сторонам, то есть BH1 и CH2 соответственно. Тогда треугольники ABH1 и ACH2 подобны, поскольку имеют равные углы при вершине А и соответствующие стороны пропорциональны.

Из подобия треугольников ABH1 и ACH2 следует, что:

AH1 / AC = AB / AH2

2x / (3x) = AB / x

AB = 2/3 * AH1 = 4x/3

Аналогично, из подобия треугольников ABH1 и ABС следует, что:

AH1 / AB = BC / BH1

2x / AB = BC / (AB - 2x)

BC = AB * (BH1 / AH1) = AB * (AB / (2x))

BC = AB^2 / 2x = (4x/3)^2 / (2x) = 8x/3

Таким образом, стороны треугольника ABС имеют длины AB = 4x/3, BC = 8x/3, AC = 2x. Чтобы доказать, что треугольник АБС равносторонний, необходимо и достаточно показать, что его стороны