Question

Помогите подалуйста. Найти производные dx/dy, пользуясь формулами дифференцирования. y=3x-4/квадратный корень x^3+3x-2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно применить правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования частного.

Сначала найдем производную знаменателя:

$(x^3+3x-2)' = 3x^2 + 3$

Затем, применим правило дифференцирования частного:

$\frac{d}{dx} \left(\frac{3x-4}{\sqrt{x^3+3x-2}}\right) = \frac{\sqrt{x^3+3x-2}(3)-(3x-4)\frac{1}{2}(3x^2+3)}{(x^3+3x-2)}$

Упрощаем выражение:

$\frac{d}{dx} \left(\frac{3x-4}{\sqrt{x^3+3x-2}}\right) = \frac{3(\sqrt{x^3+3x-2})-(3x-4)(\frac{3}{2}x^2+1)}{2(x^3+3x-2)^{\frac{3}{2}}}$

Таким образом, мы получили производную функции $y$ по $x$:

$\frac{dy}{dx}=\frac{3(\sqrt{x^3+3x-2})-(3x-4)(\frac{3}{2}x^2+1)}{2(x^3+3x-2)^{\frac{3}{2}}}$

Однако, нам требуется найти производную $x$ по $y$. Для этого мы можем воспользоваться обратной функцией:

$x = \frac{y\sqrt{x^3+3x-2}+4}{3}$

Перепишем это уравнение в виде $f(y)=x$:

$f(y) = \frac{y\sqrt{x^3+3x-2}+4}{3}-x = 0$

Затем, найдем производную $f(y)$ по $y$:

$f'(y) = \frac{\sqrt{x^3+3x-2}}{3}$

Используя правило дифференцирования обратной функции, получаем:

$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{f'(y)} = \frac{3}{\sqrt{x^3+3x-2}}$

Теперь мы получили производную $x$ по $y$:

$\frac{dx}{dy} = \frac{3}{\sqrt{x^3+3x-2}}$