Question

Найдите все натуральные числа n, что три числа n^2-10n+23, n^2-9n+31 b g^2-12n+46 являются простыми числами. Только пожалуйста напишите решение!

Answer 1

Это натуральные числа:2,23,31,,46

Answer 2

Первые два числа даны в виде квадратных выражений с n, их можно преобразовать к виду (n-5)^2 + 18 и (n-4)^2 + 15. Заметим, что если n меньше 5, то первое выражение меньше 18, то есть не является простым числом. Если n больше 5, то первое выражение больше 18 и к тому же кратно 3, поэтому не является простым числом. Таким образом, первое выражение может быть простым только при n = 5.

Для второго выражения можно аналогично проверить, что оно может быть простым только при n = 4.

Теперь рассмотрим третье выражение b g^2-12n+46. Обозначим его за p, где p - простое число. Тогда можно записать уравнение:

b g^2 - 12n + 46 = p

Решим это уравнение относительно n:

n = (bg^2 - p + 46)/12

Так как n - натуральное число, то bg^2 - p + 46 должно быть кратно 12.

Если p = 2, то bg^2 должно быть четным, а значит и g должно быть четным. Обозначим g = 2m, тогда bg^2 = 4bm^2. Подставим это в уравнение выше:

2bm^2 - 1 + 23 = 12n

2bm^2 + 22 = 12n

bm^2 + 11 = 6n

bm^2 + 11 = 2*3n

Заметим, что левая часть уравнения нечетна, а правая часть кратна 2. Таким образом, решений в этом случае нет.

Если p > 2, то bg^2 должно быть нечетным. Это возможно только если b и g оба нечетные. Обозначим g = 2m + 1, тогда bg^2 = 4bm(bm + m) + b. Подставим это в уравнение выше:

2bm(bm + m) + 37 = 12n

bm(bm + m) + 18 = 6n

bm(bm + m) + 18 = 2*3n

Так как левая часть уравнения кратна 2, то и правая часть должна быть кратна 2. Значит, n должно быть четным. Обозначим n = 2k, тогда:

bm(bm + m) + 9 = 6k

bm(bm + m) + 9 = 3*2k

Так как левая часть уравнения кратна 3, то и правая часть должна быть кратна 3. Значит, k должно быть кратно 3