Question

Найдите длину медианы BM в треугольнике ABC с заданными координатами вершин. 1)A(-5;1). B(-3;3), C(1;-1) 2)A(3;7), B(5;2), C(-1;3) 3) A(2;4), B(0;2), C(4;-2) 4) A(3;7), B(-4;0), C(1;-4)

Answer 1

$1)\; \; A(-5,1)\; ,\; \; B(-3,3)\; ,\; \; C(1,-1)\; .\\\\x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{-5+1}{2}=-2\; ,\; \; y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{1-1}{2}=0\\\\M(-2,0)\\\\|BM|=\sqrt{(-2+3)^2+(0-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\\\\2)\; \; A(3,7)\; ,\; B(5,2)\; ,\; C(-1,3)\\\\x_{M}=\frac{3-1}{2}=1\; ,\; \; y_{M}=\frac{7+3}{2}=5\\\\M(1,5)\\\\|BM|=\sqrt{(1-5)^2+(5-2)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\\\\3)\; \; A(2,4)\; ,\; \; B(0,2)\; ,\; \; C(4,-2)\\\\x_{M}=\frac{2+4}{2}=3\; ,\; \; y_{M}=\frac{4-2}{2}=1\\\\|BM|=\sqrt{(3-0)^2+(1-2)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$

$4)\; \; A(3,7)\; ,\; \; B(-4,0)\; ,\; \; C(1,-4)\\\\x_{M}=\frac{3+1}{2}=2\; ,\; \; y_{M}=\frac{7-4}{2}=1,5\\\\M(2;\; 1,5)\\\\|BM|=\sqrt{(2+4)^2+(1,5-0)^2)}=\sqrt{36+2,25}=\sqrt{38,25}=\\\\=\sqrt{\frac{153}{4}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}$

Answer 2

Для нахождения длины медианы BM в треугольнике ABC мы можем использовать формулу:

BM = (1/2) * sqrt(2 * AB^2 + 2 * AC^2 - BC^2)

где AB, AC и BC - это длины сторон треугольника.

1. A(-5;1), B(-3;3), C(1;-1):

AB = sqrt((3 - 1)^2 + (3 - 1)^2) = sqrt(8) AC = sqrt((1 - (-1))^2 + (-1 - 1)^2) = sqrt(20) BC = sqrt((-3 - 1)^2 + (-3 - (-1))^2) = sqrt(32)

Подставляя значения в формулу, получаем:

BM = (1/2) * sqrt(2 * (sqrt(8))^2 + 2 * (sqrt(20))^2 - (sqrt(32))^2) = (1/2) * sqrt(8) = 2 * sqrt(2)

Ответ: BM = 2 * sqrt(2).

2. A(3;7), B(5;2), C(-1;3):

AB = sqrt((5 - 3)^2 + (2 - 7)^2) = sqrt(29) AC = sqrt((3 - (-1))^2 + (7 - 3)^2) = 2 * sqrt(17) BC = sqrt((5 - (-1))^2 + (2 - 3)^2) = 2 * sqrt(10)

Подставляя значения в формулу, получаем:

BM = (1/2) * sqrt(2 * (sqrt(29))^2 + 2 * (2 * sqrt(17))^2 - (2 * sqrt(10))^2) = (1/2) * sqrt(214) = sqrt(53)

Ответ: BM = sqrt(53).

3. A(2;4), B(0;2), C(4;-2):

AB = sqrt((0 - 2)^2 + (2 - 4)^2) = sqrt(8) AC = sqrt((4 - 2)^2 + (-2 - 4)^2) = 2 * sqrt(20) BC = sqrt((4 - 0)^2 + (-2 - 2)^2) = 2 * sqrt(5)

Подставляя значения в формулу, получаем:

BM = (1/2) * sqrt(2 * (sqrt(8))^2 + 2 * (2 * sqrt(20))^2 - (2 * sqrt(5))^2) = (1/2) * sqrt(152) = 2 * sqrt(38)

Ответ: BM = 2 * sqrt(38).

4. A(3;7), B(-4;0), C(1;-4):

AB = sqrt((-4 - 3)^2 + (0 - 7)^2) = sqrt(85) AC = sqrt((1 - 3)^2 + (-4 - 7)^2) = sqrt(170) BC = sqrt((1 - (-4))^2 + (-4 - 0)^2) = sqrt(41)

Подставляя значения в формулу, получаем:

BM = (1/2) * sqrt(2 * (sqrt(85))^2 + 2 * (sqrt(170))^2 - (sqrt(41))^2) = (1/2)