Question

В окружности с центром О проведён диаметр АВ , пересекающий хорду CD в точке К , причём К- середина хорды. Известно , что угол CAD = 40 градусов. Найдите угол BAD

Answer 1

Диаметр, проходящий через середину хорды ей перпендикулярен.. Поэтому треугольник АDС- равнобедренный. Его высота АК является биссектрисой. Угол BAD = 20  градусам.

Answer 2

Из условия задачи известно, что $\angle CAD = 40^\circ$. Так как $KC$ является хордой окружности, проходящей через центр, то $KC$ является перпендикуляром к $AB$ и проходит через его середину, следовательно, $KC$ также является высотой треугольника $ABC$.

Так как $KC$ является высотой, то $\angle KAC = 90^\circ - \angle CAD = 50^\circ$. Кроме того, $\angle KCA = 90^\circ - \angle KAC = 40^\circ$.

Таким образом, в треугольнике $ABC$ у нас есть два угла, равных $40^\circ$ и $50^\circ$, и нам нужно найти третий угол $\angle BAD$. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, мы можем найти третий угол, используя следующее уравнение:

$\angle BAD = 180^\circ - \angle BDA - \angle ADB$

Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $KC$ является высотой и серединой хорды $CD$, то $KD = DC / 2$. Также, так как $AB$ является диаметром окружности, то $\angle ABD = 90^\circ$. Из правильности треугольника $AKD$, мы знаем, что $\angle AKD = 90^\circ$ и $AD = DK$.

Таким образом, треугольник $ABD$ является прямоугольным с гипотенузой $AB$ и катетами $AD$ и $BD$, где $AD = DK$ и $BD = DC / 2$. Используя тригонометрию, мы можем выразить $\angle BAD$ как:

$\tan \angle BAD = \frac{AD}{BD} = \frac{DK}{DC/2} = \frac{1}{\tan \angle KDC} = \frac{1}{\tan \angle KCA} = \frac{1}{\frac{KC}{AC}} = \frac{AC}{KC}$

где мы использовали свойство, что $\tan$ угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, и теорему о соотношении сторон прямоугольного треугольника.

Используя свойство равнобедренной трапеции, мы можем выразить $AC$ через $AD$:

$AC = 2 \cdot AD = 2 \cdot DK$

Также, мы можем найти $KC$ через $DC$:

$$$$