Question

Найдите площадь треугольника, если известно. Что длины его двух медиан равны 6см и 9 см, а сами медианы перпендикулярны.

Answer 1

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся теоремой о медиане треугольника:

Медиана треугольника делит ее площадь пополам.

Также известно, что медианы перпендикулярны, что означает, что они являются биссектрисами соответствующих углов, а также высотами треугольника.

Обозначим медианы как AM и BN, а точку их пересечения как O. Тогда AM и BN являются высотами треугольника ABC, а точка O является точкой пересечения высот.

Так как медиана AM делит сторону BC пополам, то BM = MC. Аналогично, медиана BN делит сторону AC пополам, то AN = NC.

Теперь мы можем записать уравнения для длины медиан в терминах сторон треугольника:

AM = sqrt(2*(b^2+c^2)-a^2)/2 = 6, где a, b и c - длины сторон треугольника, а AM является медианой, и мы использовали формулу для длины медианы.

BN = sqrt(2*(a^2+c^2)-b^2)/2 = 9, где BN является другой медианой.

Используя эти уравнения, можно выразить длины сторон треугольника через a, b и c, и решить систему уравнений относительно a, b и c. Однако, это достаточно сложно и занимает много времени.

Существует более простой и эффективный способ решения этой задачи. Мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника через длины медиан:

S = (2/3)sqrt(p(p-AM)(p-BN)(p-OM)), где p - полупериметр треугольника, OM - третья медиана треугольника, которая также является высотой.

Мы знаем длины двух медиан, AM и BN. Третья медиана OM можно найти, используя теорему Пифагора в треугольнике AOB:

OM^2 = OA^2 - AM^2 = OB^2 - BN^2,

где OA и OB - радиусы вписанных окружностей треугольников ABO и ACO соответственно.

Так как треугольник ABO является равнобедренным, то его радиус равен r = sqrt(AM^2 + AB^2/4