Question

в прямоугольной четырехугольной пирамиде диагональ основание равна 4√3 см,а двугранный угол при основании равна 60°.найдите площадь полной поверности пирамиды

Answer 1

Построй пирамиду с вершиной в точке А: АВСДЕ

Правильная четыреугольная пирамида - пирамида основанием которой является квадрат

Диагональ квадрата - СЕ= 4корня из 3

Рассмотрим треугольник СДЕ - прямоугольный равнобедренный ( СД=ДЕ как стороны квадрата)   По теореме Пифагора: СД^2 +ДЕ^2 =48

2CД^2=48

CД^2=24

CД = корень из 24 или 2 корня из 6

 

Построим линейный угол двугранного угла АВСДЕ ( Проведи АK перпендикулярно ВС и КР перпендикулярно ВС тогда угол АКP=60

KP=CД  тогда КО ( О точка пересечения диагоналей) = 2корня из 6 деленое на 2 т е корень из 6

через косинус острого угла прямоугольного треугольника

соs АKP= КО / КА

60=КА* Корень из 6

КА= корень из 6 / 0.5

КА=2Корня из 6

 Найдем S основания  S осн.= 2корня из 6 ^2= 24

КА высота в треугольнике АВС =) Saвc =1/2 ВС * КА = корень из 6 * 2 корня из 6 = 12

Так как пирамида правильная то все ее грани равные треугольники  =) S бок пов.= S abc * 4 =12 * 4 =48

S полн. пов. =Sбок пов. + S осн. = 48 +24=72

Answer 2

Чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, нужно найти площадь её основания и площадь боковой поверхности.

Площадь основания можно найти, зная длину диагонали основания. Так как это прямоугольная пирамида, то её основание - прямоугольник. Разложим его на два треугольника по диагонали:

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline&space;AB&space;=&space;4\sqrt{3}&space;\text{см}" title="AB = 4\sqrt{3} \text{см}" /> <img src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline&space;AC&space;=&space;4\text{см}" title="AC = 4\text{см}" />

Тогда площадь основания равна:

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline&space;S_{\text{осн}}&space;=&space;AB&space;\cdot&space;AC&space;=&space;4\sqrt{3}&space;\cdot&space;4&space;=&space;16\sqrt{3}&space;\text{см}^2" title="S_{\text{осн}} = AB \cdot AC = 4\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3} \text{см}^2" />

Теперь найдем высоту боковой грани пирамиды, для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABD:

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline&space;AD^2&space;=&space;(AB/2)^2&space;&plus;&space;(BD)^2&space;-&space;2\cdot&space;(AB/2)&space;\cdot&space;(BD)&space;\cdot&space;\cos{60^\circ}" title="AD^2 = (AB/2)^2 + (BD)^2 - 2\cdot (AB/2) \cdot (BD) \cdot \cos{60^\circ}" /> <img src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline&space;BD&space;=&space;AC&space;=&space;4\text{см}" title="BD = AC = 4\text{см}" />

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline&space;AD&space;=&space;\sqrt{(AB/2)^2&space;&plus;&space;(BD)^2&space;-&space;2\cdot&space;(AB/2)&space;\cdot&space;(BD)&space;\cdot&space;\cos{60^\circ}}&space;=&space;\sqrt{(4\sqrt{3}/2)^2&space;&plus;&space;4^2&space;-&space;2\cdot&space;(4\sqrt{3}/2)&space;\cdot&space;4&space;\cdot&space;1/2}&space;=&space;\sqrt{28}&space;\text{см}" title="AD = \sqrt{(AB/2)^2 + (BD)^2 -