Question

Какова вероятность того, что сумма двух наудачу взятых отрезков , длина каждого из которых не превосходит L, будет больше L?

Answer 1

В системе координат, в I четверти, рассмотрим квадрат со стороной L и одной из вершин в точке (0; 0). Тогда остальные его вершины будут иметь координаты (L; 0), (0; L) и (L; L). Отложим внутри квадрата по осям Ox и Oy два отрезка с длинами x и y (очевидно, не превосходящими L). Это равносильно тому, что выбрать точку с координатами (x; y) внутри этого квадрата. Тогда для точек должно выполняться условие:

x + y > L, или y > -x + L

То есть нам подходят все точки, лежащие выше прямой y = -x + L, но в пределах квадрата. Заметим, что эта прямая проходит через точки (0; L) и (L; 0), то есть является диагональю квадрата, а значит, делит его пополам. То есть множество искомых точек составляет половину от всего квадрата.

Ответ: 0,5

Answer 2

Для ответа на этот вопрос нужно определить распределение длин двух наудачу взятых отрезков. Мы предположим, что длины этих отрезков распределены равномерно на интервале [0, L].

Пусть X и Y - длины двух наудачу взятых отрезков. Тогда мы ищем вероятность того, что X + Y > L. Эту вероятность можно вычислить, используя геометрические соображения. Мы можем представить все возможные значения (X, Y) как точки в квадрате со стороной L (т.е. точки с координатами (x, y), где 0 ≤ x, y ≤ L).

Точки, для которых X + Y > L, находятся выше прямой X + Y = L (т.е. в треугольнике, образованном вершинами (0, L), (L, 0) и (L/2, L/2)). Площадь этого треугольника равна L^2/2, поэтому вероятность того, что X + Y > L, равна площади этого треугольника, деленной на площадь квадрата со стороной L:

P(X + Y > L) = L^2/2 / L^2 = 1/2

Таким образом, вероятность того, что сумма двух наудачу взятых отрезков, каждый из которых имеет длину не больше L, больше L, равна 1/2.