Question

Продовження бічних сторін AB і CD трапеції ABCD перетинаються в точці F AB:BF=3:7 AD- більша основна трапеції . різниця основ трапеції дорівнює 6 см . знайдіть основу AD

Answer 1

См. на рисунок в приложении.
1) Т.к. АВ:ВF = 3 : 7, то  AF:BF = 10:7
2) Треугольники AFD и BFC подобны, а в подобных треугольниках стороны пропорциональны, поэтому можно записать:
      АF:BF =  AD:BC = 10:7
А так как по условию АD = BC + 6
   ВС + 6        10
  ----------- = -------
       ВС            7
   7*(ВС + 6 ) = 10*ВС
     7*ВС + 42 = 10*ВС
          3*ВС = 42
             ВС = 14
Значит АD = DC + 6 = 14 + 6 = 20
Ответ: AD = 20 см

Answer 2

Позначимо довжину меншої основи трапеції ABCD як $BC = a$. Тоді довжина більшої основи буде $AD = a + 6$.

Також за умовою відношення $AB:BF = 3:7$, тому ми можемо записати, що $AB = \frac{3}{10}(BF)$. Аналогічно, ми можемо записати, що $CD = \frac{7}{10}(DF)$.

Розглянемо трикутник $BFD$. За теоремою про перерізаний кут, ми знаємо, що $\angle BFD = \angle BFA + \angle DFA$. За умовою, $\angle BFA = \angle CDF$ (оскільки вони є вертикальними кутами), тому $\angle BFD = 2 \angle CDF$.

Аналогічно, розглядаючи трикутник $AFD$, ми можемо записати, що $\angle AFD = 2 \angle BFA$.

Тепер ми можемо застосувати теорему синусів до трикутників $ABF$ та $CDF$. Зокрема, ми можемо записати:

$\frac{BF}{\sin \angle AFD} = \frac{AF}{\sin \angle BFA}, \quad \frac{DF}{\sin \angle BFD} = \frac{CD}{\sin \angle CDF}.$

Підставляючи відомі значення, ми отримуємо:

$\frac{BF}{\sin 2 \angle BFA} = \frac{AF}{\sin \angle BFA}, \quad \frac{DF}{\sin 2 \angle CDF} = \frac{7}{10}CD.$

За формулою для синуса подвоєного кута, ми можемо переписати перше рівняння як:

$\frac{BF}{2 \sin \angle BFA \cos \angle BFA} = \frac{AF}{\sin \angle BFA}.$

Скориставшись ідентичністю $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$, ми можемо записати, що $\cos \angle BFA = \sqrt{1 - \sin^2 \angle BFA} = \sqrt{1 - (\frac{3}{10})^2} = \frac{\sqrt{91}}{10}$.

Підставляючи це значення, ми отримуємо:

$\frac{BF}{\frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{91}}{10}} = \frac{AF}{\frac{3}{10}},$

або, спрощуючи:

$$$$