Question

3^2x-6 = 9^2\sqrt{x} [/tex]

Answer 1

⊂⊇⊇⊇∧Заметим, что x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3), x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4).

Домножим обе части на знаменатель:
(x - 2)(x - 1)(x + 3)(x + 4) = 6 (Кстати, отсюда чётко видно, что об ОДЗ можно не беспокоиться, так как (x - 1)(x + 4) не равно нулю)


Перемножим первую и последнюю скобки, вторую и третью:
(x^2 + 2x - 8)(x^2 + 2x - 3) = 6

Замена: x^2 + 2x + 1 = y, y >= 0
(y - 9)(y - 4) = 6
y^2 - 13y + 36 = 6
y^2 - 13y + 30 = 0

У этого уравнения есть два неравных положительных корня (сумма и произведение положительны по формулам Виета). Тогда у исходного уравнения - 4 неравных вещественных корня. Их произведение легко найти - оно равно свободному члену многочлена (x - 2)(x - 1)(x + 3)(x + 4) - 6, т.е. 2 * 1 * 3 * 4 - 6 = 18.

Ответ. Произведение корней равно 18.

P.S. Можно и дорешать уравнение "честно". Корни уравнения на y - это 3 и 10. Тогда, возвращаясь к иксам, получим
x = -1 +- sqrt(3); -1 +- sqrt(10).
Произведения корней каждого квадратного уравнения можно было найти и по формулам Виета. Но, так или иначе,

(1 + sqrt(3))(1 - sqrt(3))(1 + sqrt(10))(1 - sqrt(10)) = (1 - 3)(1 - 10) = 2 * 9 = 18.

P.P.S. Как и предлагал в обсуждении mmb1, можно, увидев выражение 
(x - a)(x - b)(x - c)(x - d), свести его к "разности квадратов", т.е. к виду 
((x - u)^2 - l)((x - u)^2 - m). Раскрывая скобки в тождестве
((x - u)^2 - l)((x - u)^2 - m) = (x - a)(x - b)(x - c)(x - d),
получим:
x^4 - 4u x^3 + (...) = x^4 - (a + b + c + d) x^3 + (...) (В скобках нет степеней икс выше второй)
Отсюда u = (a + b + c + d) / 4, и делать нужно замену y = x - u = x - (a + b + c + d)/4.
Здесь (a + b + c + d)/4 = (2 + 1 - 3 - 4)/4 = -1, и уравнение превращается в квадратное относительно (x + 1)^2.

Answer 2

To solve this equation, we want to isolate x on one side of the equation.

Let's start by simplifying both sides using the properties of exponents:

3^(2x-6) = (3^2)^(sqrt(x)) (since 9 = 3^2)

3^(2x-6) = 3^(2sqrt(x))

Now we can use the property that if two exponential expressions have the same base, then their exponents must be equal in order for the expressions to be equal:

2x-6 = 2sqrt(x)

We can now solve for x using algebraic techniques. One way to do this is to move all the terms involving x to one side of the equation, and all the other terms to the other side:

2x - 2sqrt(x) - 6 = 0

Now we can use a substitution to make this equation easier to solve. Let's define a new variable, y = sqrt(x). Then we can rewrite the equation in terms of y:

2y^2 - 2y - 6 = 0

Dividing both sides by 2, we get:

y^2 - y - 3 = 0

This is a quadratic equation that we can solve using the quadratic formula:

y = (1 ± sqrt(1 + 4*3))/2 = (1 ± sqrt(13))/2

Remember that y = sqrt(x), so we have two possible values for x:

x = (1 + sqrt(13))/2 or x = (1 - sqrt(13))/2

Therefore, the solution to the original equation is:

x = (1 + sqrt(13))/2 or x = (1 - sqrt(13))/2