Question

Квадрат трехзначного числа оканчивается тремя одинаковыми цифрами, отличными от нуля. Напишите наибольшее такое трехзначное число.

Answer 1

Есть единственное двузначное число 38, квадрат которого заканчивается на три одинаковые цифры: 38^2 = 1444.
Трехзначных чисел с таким свойством всего 3:
(500-38)^2 = 462^2 = 213444 - наименьшее
(500+38)^2 = 538^2 = 289444
(1000-38)^2 = 962^2 = 925444 - наибольшее

Answer 2

Пусть искомое число равно $n^2$, где $n$ - некоторое трехзначное число.

Тогда последние три цифры числа $n^2$ равны последним трем цифрам числа $n$. Поскольку $n$ - трехзначное число, последние три цифры $n^2$ не могут быть равны $000$.

Посмотрим на последние три цифры квадратов натуральных чисел от $100$ до $999$:

\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Число } n & \text{Последние три цифры числа } n^2 \ \hline 100 & 000 \ 101 & 201 \ 102 & 104 \ 103 & 209 \ 104 & 816 \ 105 & 025 \ 106 & 836 \ 107 & 449 \ 108 & 664 \ 109 & 081 \ 110 & 210 \ 111 & 321 \ 112 & 544 \ 113 & 569 \ 114 & 296 \ 115 & 625 \ 116 & 956 \ 117 & 689 \ 118 & 924 \ 119 & 361 \ 120 & 440 \ \vdots & \vdots \ \hline \end{array}

Мы видим, что наибольшее трехзначное число, квадрат которого оканчивается тремя одинаковыми ненулевыми цифрами, равно $119^2 = 14161$.

Ответ: $\boxed{14161}$.

Answer 3

Чтобы квадрат трехзначного числа оканчивался тремя одинаковыми цифрами, отличными от нуля, последняя цифра должна быть 1, 4, 5, 6 или 9 (поскольку квадрат любого числа, оканчивающегося на 0, будет оканчиваться на 00, а квадрат числа, оканчивающегося на цифру от 2 до 8, будет оканчиваться на две разные цифры).

Таким образом, нам нужно найти наибольшее трехзначное число, оканчивающееся на 1, 4, 5, 6 или 9. Наибольшее трехзначное число, оканчивающееся на 1, - это 991 (31^2 = 961). Наибольшее трехзначное число, оканчивающееся на 4, - это 964 (31^2 = 961). Наибольшее трехзначное число, оканчивающееся на 5, - это 995 (32^2 = 1024). Наибольшее трехзначное число, оканчивающееся на 6, - это 986 (31^2 = 961). Наконец, наибольшее трехзначное число, оканчивающееся на 9, - это 999 (32^2 = 1024).

Таким образом, наибольшее такое трехзначное число - это 999.