Question

Помогите посчитать пожалуйста. Интеграл от dx/(sinx+cosx)

Answer 1

$\int \frac{dx}{sinx+cosx}=[\, t=tg\frac{x}{2},sinx=\frac{2t}{1+t^2},cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2dt}{1+t^2}\, ]=\\\\=\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}}=\int \frac{2\, dt}{-(t^2-2t-1)}=-2\int \frac{dt}{(t-1)^2-2}=[v=t-1,dv=dt]=\\\\=-2\int \frac{dv}{v^2-2}=-2\cdot \frac{1}{2\sqrt2}\cdot ln|\frac{v-\sqrt2}{v+\sqrt2}|+C=-\frac{1}{\sqrt2}\cdot ln|\frac{tg\frac{x}{2}-1-\sqrt2}{tg\frac{x}{2}-1+\sqrt2}|+C=$

$=\frac{1}{\sqrt2}\cdot ln\, |\frac{tg\frac{x}{2}-1+\sqrt2}{tg\frac{x}{2}-1-\sqrt2}|+C$

Answer 2

Данный интеграл не может быть выражен в элементарных функциях. Однако, мы можем преобразовать его и свести к известному интегралу.

Разделим числитель и знаменатель на cos(x):

dx / (sin(x) + cos(x)) = dx / cos(x) * (sin(x)/cos(x) + 1)

Теперь заметим, что sin(x)/cos(x) = tan(x), и заменим ее на t:

dx / (sin(x) + cos(x)) = dx / cos(x) * (t + 1)

Заменим также dx/cos(x) на -d(t+1):

dx / (sin(x) + cos(x)) = -d(t+1)

Теперь интеграл принимает следующий вид:

∫ dx / (sin(x) + cos(x)) = -∫ d(t+1) = -(t+1) + C

Возвращаясь к переменной x и подставляя обратно значение t = sin(x)/cos(x) = tan(x), получим окончательный ответ:

∫ dx / (sin(x) + cos(x)) = -tan(x) - x + C, где C - произвольная постоянная.