Question

. В квадрате АВСD на стороне CD и на продолжении стороны DA за точку А отмечены точки K и N соответственно. Докажите, что если угол BKN = 45 градусов, то AN = CK.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для начала, заметим, что угол BKN является вписанным углом, так как он соответствует дуге BN, проходящей через точку K. Так как сторона BC является диаметром окружности, описанной вокруг квадрата ABCD, то угол BAC является прямым. Также, угол BKC является прямым, так как он соответствует углу, вписанному в дугу BC.

Из угла BKN = 45 градусов следует, что угол ABK = 45 градусов, так как углы ABK и BKN составляют смежные углы и их сумма равна 90 градусов. Также, угол BAC = 90 градусов, следовательно, угол BAK = 45 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник BAK. Углы BAK и ABK равны 45 градусам, следовательно, третий угол AKB также равен 90 градусов. Так как угол BKC тоже равен 90 градусов, то треугольник BKC является прямоугольным.

Рассмотрим еще один треугольник, ANC. Угол BAC равен 90 градусов, угол ANB равен 45 градусов (так как BN и AB являются диагоналями квадрата), следовательно, третий угол CAN равен 45 градусов.

Таким образом, мы получили два прямоугольных треугольника BKC и BAK, а также два треугольника ANB и ANC, в которых два угла равны 45 градусам.

Заметим, что треугольники BAK и ANC являются подобными, так как углы BAK и ANC равны, угол BAC также равен углу ANB, и соответственные стороны AB и AN равны (по теореме о равенстве диагоналей квадрата). Аналогично, треугольники BKC и ANB также подобны, так как углы BKC и ANB равны, угол BCA также равен углу KBN, и соответственные стороны BC и BK равны.

Из подобия треугольников BAK и ANC следует, что соответственные стороны AK и AC пропорциональны соответственным сторонам AN и CN. То есть,

AK/AN = AC/CN.