Question

Прямая, проведённая параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 15, отсекает треугольник, периметр которого равен 31. Найдите периметр трапеции. Пожалуйста помогите.

Answer 1

Ответ: 61.

Пусть трапеция ABCD, AD - наибольшее основание, BC - наименьшее.

Точка P на AD такова, что PC параллельно AB. Мы знаем, что периметр PCD равен 31. То есть, PC+CD+DP=31. При этом, ABCP - параллелограм (противоположные стороны попарно параллельны).

Тогда AB=PC и AP=BC=15. Получаем, что периметр трапеции равен

AB+BC+CD+DA=PC+BC+CD+DP+PA=PC+CD+DP+BC+PA=31+15+15=61.  

Answer 2

Рассмотрим следующую трапецию:

cssCopy code
      A------B
     /        \
    /          \
   D------------C

где AB - большее основание, DC - меньшее основание, AD и BC - боковые стороны.

Пусть E - точка пересечения боковой стороны AD с прямой, проходящей через конец меньшего основания DC и параллельной BC.

cssCopy code
      A------B
     /        \
    /   E      \
   D------------C

Тогда треугольник ADE - подобен треугольнику BAC (так как углы ADE и BAC соответственные и параллельные прямые AD и BC, а углы AED и ABC - вертикальные). Таким образом, мы можем написать:

Copy code
AD / AB = DE / AC

Нам известны значения AB и DE. Заметим также, что периметр треугольника ADE равен:

Copy code
AD + DE + AE = 31

Мы можем выразить AE через DE:

makefileCopy code
AE = AB - DE = 15 - DE

Подставим это выражение в предыдущую формулу:

scssCopy code
AD / AB = DE / AC
AD / 15 = DE / (15 - DE)
AD (15 - DE) = 15 DE
AD = 15 DE / (15 - DE)

Таким образом, мы получили выражение для боковой стороны AD через DE. Заметим, что сторона AC трапеции равна сумме DE и BC (так как DE параллельна BC и AE = AB - DE). Таким образом, мы можем выразить периметр трапеции через DE:

scssCopy code
Perimeter = AD + BC + AB + DC
          = 15 DE / (15 - DE) + BC + 15 + DC
          = 15 (DE / (15 - DE) + 1) + BC + DC

Нам нужно найти периметр трапеции, зная только периметр треугольника ADE. Заметим, что периметр треугольника ADE равен:

scssCopy code
AD + DE + AE = 31
15 DE / (15 - DE) + DE + 15 - DE = 31
15 DE + DE (15 - DE) + 15 (15 - DE) - DE (15 - DE) = 31 (15 - DE)
15 DE + 15^2 - 15 DE + 15 - DE^2 + DE + 15 DE - DE^2 = 31 (15 - DE)
30 DE - 2 DE^2 + 15^2 + 15 = 31 (15 - DE)
-2 DE^2 + 30 DE - 390 = 0
DE^2 - 15 DE + 195 = 0

Решим квадратное уравнение:

arduinoCopy code
DE = (15 ± sqrt(15^