Question

Стороны треугольника равны 18 и 24, а модуль косинуса угла между ними 31/216. Найдите третью сторону, если периметр треугольника натуральное число.

Answer 1

Ответ: 32

Пошаговое объяснение:

По теореме косинусов

a²=b²+c²-2bccosa=18²+24²+-2×18×24×31:216=324+576+-124

Поскольку а - натуральное число, то выбираем а²=324+576+124=1024

Тогда а=32

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать закон косинусов, который гласит, что для любого треугольника со сторонами a, b, c и углом между сторонами a и b, обозначенным как C, справедливо:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)

Мы знаем две стороны треугольника: 18 и 24. Мы также знаем модуль косинуса угла между этими сторонами, который равен 31/216. Пусть третья сторона имеет длину c. Тогда мы можем записать:

c^2 = 18^2 + 24^2 - 21824*cos(C)

c^2 = 900 - 864*cos(C)

Мы также знаем, что периметр треугольника является натуральным числом, поэтому третья сторона должна быть целым числом. Это означает, что модуль косинуса угла между 18 и 24 должен быть целым делителем числа 31. Единственный такой делитель - это 1. Таким образом, мы можем записать:

|cos(C)| = 1/216

Это означает, что косинус угла C равен либо 1/216, либо -1/216. Однако, так как мы знаем, что угол между сторонами 18 и 24 является остроугольным (иначе, мы бы имели дело с невозможным треугольником), мы должны выбрать косинус угла C, который является положительным числом:

cos(C) = 1/216

Теперь мы можем вычислить значение третьей стороны:

c^2 = 900 - 864cos(C) = 900 - 864(1/216) = 900 - 4 = 896

c = sqrt(896) = 16*sqrt(14)

Таким образом, третья сторона треугольника равна 16*sqrt(14). Проверим, что периметр треугольника является натуральным числом:

18 + 24 + 16*sqrt(14) ≈ 57.06

Периметр не является натуральным числом. Однако, мы можем заметить, что длины сторон треугольника являются кратными 6. Мы можем разделить каждую сторону на 6, чтобы получить треугольник со сторонами 3, 4 и 8*sqrt(14)/3. Проверим, что это действительно треугольник, и его перимет