Question

с6 На окружности радиуса 3 с центром в вершине равнобедренного треугольника ABC  взята точка P .Известно , что AB=AC=5, BC=6, а треугольники APB  и APC равновелики.Найдите расстояние от точки P до прямой BC , если известно ,что оно меньше 6. помогите пожалуйста

Answer 1

центр окружности радиуса 12 О
окружность касается продолжений сторон в точках К и Л, а основания АС в точке Р
КА=АР=РЛ=СЛ=18/2=9

соединим  точку О и С, О и А
треугольник РОС прямоугольный (ОР радиус в точку касания) райдем по пифагору ОС=15., АО=15 находится аналогично
треугольнк АВС равен треугольнику АОС
радиус вписанной окружности = S/р
Р= 15+15+18/2=24
S=18*12/2=108
r=4.5

Answer 2

КА=АР=РЛ=СЛ=18/2=9

Р= 15+15+18/2=24
S=18*12/2=108
r=4.5

Answer 3

Для начала заметим, что треугольник ABC является прямоугольным, так как BC^2 = AB^2 + AC^2. Значит, вершина треугольника ABC лежит на окружности с радиусом 3, в которую вписан прямоугольный треугольник.

Также заметим, что треугольники APB и APC равновелики, поэтому углы BAP и CAP равны между собой. Обозначим этот угол как α.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Пусть M - середина стороны BC. Тогда BM = MC = 3, а AM = 4 (по теореме Пифагора). Также заметим, что угол AMB равен 90 градусам, а значит, AM является высотой треугольника APB.

Пусть D - проекция точки P на прямую BC. Тогда PD - расстояние от точки P до прямой BC. Заметим, что треугольники BPD и CPD равновелики (они имеют общую сторону BP = PC, а также углы BPD и CPD равны α), а значит, BD = DC = 3.

Так как PD меньше 6, то точка D должна лежать между точками B и C. Обозначим угол BAP как α. Тогда угол PAD равен 90 - α, а угол PDA равен α. Используя теорему Пифагора для треугольника PDA, получаем:

PD^2 = PA^2 - AD^2 = (4sinα)^2 - (3 - 3cosα)^2 = 16sin^2α - 9 + 18cosα - 9*cos^2α.

Нам нужно найти такой угол α, при котором PD меньше 6. Для этого можно перебирать значения угла α от 0 до 90 градусов (это следует из того, что углы BAP и CAP не могут быть больше 90 градусов). Для каждого значения угла α вычисляем PD по формуле выше и проверяем, меньше ли оно 6. Перебор можно ускорить, заметив, что функция PD(α) монотонно убывает на отрезке [0, 45 градусов], и монотонно возрастает на отрезке [45, 90 градусов]. Таким образом, можно использовать бинарный поиск, чтобы быстро найти нужное значение угла α.

Для удобства вычислений можно заменить sinα и cosα на тангенсы, используя соотнош