Question

в равнобедренный треугольник угол при основании которого равен альфа, вписана окружность радиуса r. Найти площадь треугольника. При каком значении альфа площадь треугольника будет наименьшей?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Пусть основание равнобедренного треугольника имеет длину 2b, а высота опущенная на это основание равна h.

Так как треугольник равнобедренный, то высота h будет также являться медианой и биссектрисой треугольника.

Тогда, из свойств вписанной окружности, можно заметить, что угол при основании треугольника равен половине центрального угла, соответствующего дуге основания на окружности. Пусть этот центральный угол равен 2β.

Тогда β можно найти, используя формулу для дуги длиной l на окружности радиуса r:

l = r * β.

Поскольку дуга l равна длине стороны равнобедренного треугольника, которая равна 2b, то мы получаем:

2b = r * 2β,

или

β = b/r.

Так как угол при вершине треугольника равен 2α, то внешний угол при основании равен α. Следовательно, угол между биссектрисой и медианой треугольника равен (180 - α)/2.

Из прямоугольного треугольника с катетами h и b получаем:

tg((180 - α)/2) = h/b,

откуда выражаем h:

h = b * tg((180 - α)/2).

Теперь можем выразить площадь треугольника:

S = (1/2) * 2b * h = b^2 * tg((180 - α)/2).

Для нахождения минимальной площади, возьмем производную S по α и приравняем ее к нулю:

dS/dα = - b^2/2 * (1 + tg^2((180 - α)/2)) * (1/2) * sec^2((180 - α)/2) = 0,

откуда следует, что

tg^2((180 - α)/2) = -1,

что невозможно, так как tg^2 не может быть отрицательным. Следовательно, площадь треугольника не имеет минимального значения.

Итак, площадь треугольника равна S = b^2 * tg((180 - α)/2).