Question

Найдите сумму корней ( или корень, если он один ) уравнения 4 sin^2х - 4 cos х - 1 = 0 , принадлежащих отрезку [ - 5 пи / 2 , - 3 пи / 2 ]

Answer 1

$4\sin^2(x)-4\cos(x)-1=0\\4(1-\cos^2(x))-4\cos(x)-1=0\\4-4\cos^2(x)-4\cos(x)-1=0\\-4\cos^2(x)-4\cos(x)+3=0\bigg/\times(-1)\\4\cos^2(x)-4\cos(x)-3=0\\D/4_{cos(x)}=4+12=16\\\cos(x)=\frac{-2\pm4}{4}=\frac{1}{2};-\frac{6}{4}\\\cos(x)=-\frac{6}{4}\\x\in\varnothing\\\cos(x)=\frac{1}{2}\\x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,k\in\mathbb Z$

С помощью тригонометрической окружности находим корни принадлежащие данному промежутку:

$-2\pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{5\pi}{3}\\-2\pi-\frac{\pi}{3}=-\frac{7\pi}{3}$

Их сумма:

$-\frac{5\pi}{3}+\left(-\frac{7\pi}{3}\right)=-4\pi$

Answer 2

Для решения уравнения 4 sin^2x - 4 cos x - 1 = 0 сначала выразим cos x через sin x: 4 sin^2 x - 4 cos x - 1 = 0 4(1 - cos^2 x) - 4 cos x - 1 = 0 4 cos^2 x - 4 cos x - 3 = 0 cos x = (4 ± √28)/8 = (1 ± √7)/2

Таким образом, корни уравнения равны arcsin[(1 ± √7)/2].

Найдем корень из отрезка [-5π/2, -3π/2], который соответствует значению функции arcsin[(1 + √7)/2]:

arcsin[(1 + √7)/2] принадлежит отрезку [-π/2, π/2], а значит, что корень уравнения 4 sin^2x - 4 cos x - 1 = 0, принадлежащий отрезку [-5π/2, -3π/2] не может быть равен arcsin[(1 + √7)/2].

Следовательно, единственный корень, принадлежащий отрезку [-5π/2, -3π/2], это arcsin[(1 - √7)/2].

Теперь, используя формулу суммы синусов, можем вычислить сумму корней:

sin(arcsin[(1 - √7)/2]) = (1 - √7)/2

Ответ: сумма корней уравнения 4 sin^2x - 4 cos x - 1 = 0, принадлежащих отрезку [-5π/2, -3π/2], равна (1 - √7)/2.