Question

Четырехтомное сочинение расположено на полке в произвольном порядке, найти вероятность того, что тома стоят по порядку справа налево или слева направо. (Решать через интегралы)

Answer 1

Вероятность, что стоят по порядку слева направо (первый том на первом месте 1/4, второй при этом на втором 1/3, третий при этом на третьем 1/2) равна произведению вероятностей (четвертый встает при этом на место с вероятностью единица) : 1/4*1/3*1/2=1/24, что справа налево такая же. Если либо так, либо так, то искомая вероятность равна 1/24*2=1/12. А можно посчитать так: всего 4!=24 варианта расположения - нас устраивают 2 из них (первый - по возрастанию слева направо, второй - по возрастанию справа налево) . Вероятность 2/24=1/12. Ответы, естественно, совпадают. А предыдущие "ораторы" слышали звон, да не знают, где он...

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать метод интегралов. Предположим, что тома были расположены случайным образом, то есть каждая перестановка из 4 томов равновероятна. Обозначим событие "тома стоят по порядку справа налево или слева направо" как A.

Чтобы найти вероятность события A, необходимо найти число благоприятных исходов и поделить его на общее число исходов. Общее число исходов равно 4! = 24, так как 4 тома можно переставить между собой 24 способами.

Чтобы найти число благоприятных исходов, необходимо вычислить интеграл от функции распределения вероятностей. Для этого обозначим вероятность того, что первый том стоит на месте i (i=1,2,3,4) как pi. Тогда вероятность события A можно выразить как:

P(A) = 2 * (p1 * p2 * p3 * p4 + p4 * p3 * p2 * p1)

Первое слагаемое в скобках соответствует порядку слева направо, а второе - порядку справа налево. Мы умножаем на 2, так как события "порядок слева направо" и "порядок справа налево" равновероятны.

Для вычисления вероятностей pi можно использовать геометрическую интерпретацию интеграла. Представим, что тома расположены на числовой оси от 0 до 1, и что каждый том занимает на этой оси некоторый интервал длины di (где сумма длин равна 1). Тогда вероятность того, что первый том стоит на месте i, равна длине интервала, соответствующего этому тому.

Например, если первый том стоит на месте 2, то его интервал начинается в точке d1, а заканчивается в точке d1 + d2. Тогда вероятность этого исхода равна d2.

Аналогично, если первый том стоит на месте 1, то его интервал начинается в точке 0, а заканчивается в точке d1. Тогда вероятность этого исхода равна d1.

Таким образом, вероятность pi равна длине интервала, соответствующего i-му тому. Используя эту интерпретацию, можно записать выражения