Question

SOS вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=-х^2+х+6 у=0

Answer 1

1) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций, нужно их приравнять и решить получившееся уравнение
$- x^{2} +x+6=0 D= 1^{2} -4*(-1)*6 = 25 \\ x_{1} = \frac{-1 -5}{-2} = 3 \\ x_{2} = \frac{-1+5}{-2} = -2$
2) Площадь фигуры вычисляется по формуле
$\int\limits^a_b ({f(x) - g(x)} )\, dx$
$\int\limits^3_ {-2} \, ((-x^2+x+6) - 0)dx = \\ = \int\limits^3_ {-2} \,(-x^2+x+6 - 0)dx = - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} +6x-0 I^3 _{-2} = \\ =(-9+ \frac{9}{2} +18-0)-( \frac{8}{3} +2-12-0)= \\ = -9+ \frac{9}{2} +18-0-\frac{8}{3} -2+12+0=-19+ \frac{27}{6} - \frac{16}{6} = \\ = 19+ \frac{9}{6} = 19+ \frac{3}{2} = \frac{38}{2} +\frac{3}{2}= \frac{41}{2} = 20.5$
Ответ: S = 20,5 кв.ед

Answer 2

Для решения данной задачи необходимо найти точки пересечения графика функции y=-x^2+x+6 с осью x, так как линия y=0 ограничивает фигуру снизу.

Для этого нужно решить уравнение -x^2+x+6=0:

x^2-x-6=0

(x-3)(x+2)=0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x=3 и x=-2.

Теперь можно найти значения функции y=-x^2+x+6 в этих точках:

y(3)=-3^2+3+6=6

y(-2)=-(-2)^2-2+6=2

Таким образом, мы получили две точки на графике функции: (3,6) и (-2,2).

Для вычисления площади фигуры ограниченной графиком функции и осью x, необходимо вычислить интеграл от функции y=-x^2+x+6 на отрезке [-2,3]:

S=integral(x=-2 to 3) [-x^2+x+6] dx

S=[-(1/3)x^3+(1/2)x^2+6x] from x=-2 to 3

S=[-(1/3)(3^3)+(1/2)(3^2)+6(3)]-[-(1/3)(-2^3)+(1/2)(-2^2)+6(-2)]

S=-9+9+18+4-6-12

S=4

Таким образом, площадь фигуры ограниченной графиком функции y=-x^2+x+6 и осью x равна 4 квадратным единицам.