Question

Найти область значений функции f(x) = (1/3)^(4cosx-3sinx) Даю 70 балов!

Answer 1

d(x) = 4*cosX - 3*sinX

Экстремумы находятся в корнях первой производной.

d'(x) = - 3*sin(x) - 4*cos(x) = 0

x = - 1/tg(3/4) + πn

х = 0.9316 рад +πn,  (53.4°, 143.4°)

Ymin(0.932) ≈ 0.004, Ymax(1.932) = 243

Минимальное значение функции d(x) = - 5

Максимальное значение функции d(x) = 5

Максимальное значение функции Ymax = 1/3⁻⁵ = 243.

Минимальное значение функции Ymax = 1/3⁵  ≈0,00411.

ОТВЕТ ОДЗ Dy = (0.004.. ; 243

Внимание: График функции d увеличен в 10 раз.

Answer 2

Область значений функции f(x) = (1/3)^(4cosx-3sinx) зависит от того, какое значение может принимать выражение в скобках (4cosx - 3sinx).

Для того, чтобы найти максимальное и минимальное значение данного выражения, можно воспользоваться следующим приемом:

4cosx - 3sinx = 5(cosx - (3/5)sinx) = 5sin(α - x), где sinα = 3/5 и cosα = 4/5.

Таким образом, 4cosx - 3sinx принимает значения от -5 до 5. Следовательно,

f(x) = (1/3)^(4cosx-3sinx) принимает значения от (1/3)^5 до (1/3)^(-5), то есть от 1/243 до 243.

Таким образом, область значений функции f(x) равна [1/243, 243].