Question

Разность прямоугольного треугольника равна 13 см найдите его катеты если известно что один из них на 7 см больше другого

Answer 1

Под разностью прямоугольного треугольника подразумевается либо сумма катетов за вычетом гипотенузы, либо сумма одного из катетов с гипотенузой за вычетом второго катета:

Обозначим катеты, как $k_1$ и $k_2 ,$ а гипотенузу, как $g .$

И рассмотрим три случая, имея в виду, что все величины выражены в см:

[[[ 1 ]]]

$\left\{\begin{array}{l} k_1 + k_2 - g = 13 ; \\ k_1 - k_2 = 7 ; \\ k_1^2 + k_2^2 = g^2 . \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} 2k_1 - g = 20 ; \\ k_2 = k_1 - 7 ; \\ k_1^2 + k_2^2 = g^2 . \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} g = 2k_1 - 20 ; \\ k_2 = k_1 - 7 ; \\ k_1^2 + ( k_1 - 7 )^2 = ( 2k_1 - 20 )^2 . \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} g = 2k_1 - 20 ; \\ k_2 = k_1 - 7 ; \\ k_1^2 + k_1^2 - 14 k_1 + 49 = 4 k_1^2 - 80 k_1 + 400 . \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} g = 2k_1 - 20 ; \\ k_2 = k_1 - 7 ; \\ \left|\begin{array}{l} 2 k_1^2 - 66 k_1 + 351 = 0 ; \\ D_1 = 33^2 - 2 \cdot 351 = 1089 - 702 = 387 = ( 3 \sqrt{43} )^2 ; \\ k_{1[1,2]} = \frac{ 33 \pm 3 \sqrt{43} }{2} = 16.5 \pm 1.5 \sqrt{43} . \end{array}\right \end{array}\right$

$\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} g = 2k_1 - 20 ; \\ k_2 = 9.5 - 1.5 \sqrt{43} < 0 ; \\ k_1 = 16.5 - 1.5 \sqrt{43} . \end{array}\right \\ \left\{\begin{array}{l} g = 13 + 3 \sqrt{43} ; \\ k_2 = 9.5 + 1.5 \sqrt{43} ; \\ k_1 = 16.5 + 1.5 \sqrt{43} . \end{array}\right \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} g = 13 + 3 \sqrt{43} ; \\ k_2 = 9.5 + 1.5 \sqrt{43} ; \\ k_1 = 16.5 + 1.5 \sqrt{43} . \end{array}\right$



[[[ 2 ]]]

$\left\{\begin{array}{l} k_1 + g - k_2 = 13 ; \\ k_1 - k_2 = 7 ; \\ k_1^2 + k_2^2 = g^2 . \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} g = 6 ; \\ k_2 = k_1 - 7 ; \\ k_1^2 + ( k_1 - 7 )^2 = 6^2 . \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} g = 6 ; \\ k_2 = k_1 - 7 ; \\ k_1^2 + k_1^2 - 14 k_1 + 49 = 36 . \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} g = 6 ; \\ k_2 = k_1 - 7 ; \\ \left|\begin{array}{l} 2 k_1^2 - 14 k_1 + 13 = 0 ; \\ D_1 = 7^2 - 2 \cdot 13 = 49 - 26 = ( \sqrt{23} )^2 ; \\ k_{1[1,2]} = \frac{ -7 \pm \sqrt{23} }{2} < 0 . \end{array}\right \end{array}\right$



[[[ 3 ]]]

$\left\{\begin{array}{l} k_2 + g - k_1 = 13 ; \\ k_1 - k_2 = 7 ; \\ k_1^2 + k_2^2 = g^2 . \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} g = 20 ; \\ k_2 = k_1 - 7 ; \\ k_1^2 + ( k_1 - 7 )^2 = 20^2 . \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} g = 20 ; \\ k_2 = k_1 - 7 ; \\ k_1^2 + k_1^2 - 14 k_1 + 49 = 400 . \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} g = 20 ; \\ k_2 = k_1 - 7 ; \\ \left|\begin{array}{l} 2 k_1^2 - 14 k_1 - 351 = 0 ; \\ D_1 = 7^2 + 2 \cdot 351 = 49 + 702 = ( \sqrt{751} )^2 ; \\ k_{1[1,2]} = \frac{ -7 \pm \sqrt{751} }{2} = \pm 0.5 \sqrt{751} -3.5 . \end{array}\right \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} g = 20 ; \\ k_2 = 0.5 \sqrt{751} - 10.5 ; \\ k_1 = 0.5 \sqrt{751} - 3.5 . \end{array}\right$





О т в е т : первый и второй катеты и гипотенуза могут быть равны:

$( k_1 , k_2 , g ) = ( 16.5 + 1.5 \sqrt{43} , 9.5 + 1.5 \sqrt{43} , 13 + 3 \sqrt{43} )$ ;

$( k_1 , k_2 , g ) = ( 0.5 \sqrt{751} - 3.5 , 0.5 \sqrt{751} - 10.5 , 20 ) .$

Answer 2

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны x и (x+7) см соответственно.

Тогда, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, имеем:

x^2 + (x+7)^2 = (x^2 + 2*7x + 49) = гипотенуза^2

Так как разность прямоугольного треугольника равна 13 см, то

гипотенуза - x = 13

гипотенуза = x + 13

Подставляем выражение для гипотенузы в уравнение для квадрата гипотенузы:

x^2 + 2*7x + 49 = (x+13)^2

Раскрываем скобки и упрощаем:

x^2 + 14x + 49 = x^2 + 26x + 169

12x = 120

x = 10

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 10 см и 17 см.