Question

На столе стоит ряд ящиков с пряниками и орехами. В каждом следующем ящике орехов на столько больше, чем в предыдущем, на сколько число орехов в предыдущем ящике больше числа пряников. Пряников в каждом следующем ящике на столько же меньше. Оказывается, что в 10-ом ящике совсем нет пряников. Сколько орехов в самом первом ящике, если пряников в нём ровно 9 841.

Answer 1

Число 9841 выбрали не зря!
Дальше я буду писать про каждый ящик отдельно.
1) Орехов x, пряников 9841, разность x-9841.
2) Орехов x+x-9841=2x-9841.
Пряников 9841-(x-9841)=2*9841-x
Разность 2x-9841-(2*9841-x)=3x-3*9841
Во 2 ящике орехов на столько больше, на сколько в 1 ящике орехов больше, чем пряников, то есть на разность.
А пряников во 2 ящике на столько же меньше, чем в 1 ящике.
Дальше всё тоже самое.
3) Орехов 2x-9841+3x-3*9841=5x-4*9841
Пряников 2*9841-x-(3x-3*9841)=5*9841-4x
Разность 5x-4*9841-(5*9841-4x)=9x-9*9841
Дальше я не буду утомлять вас вычислениями, а просто напишу результаты.
Кстати, в разностях коэффициенты всегда степени 3.
4) Орехов 14x-13*9841
Пряников 14*9841-13x
Разность 27x-27*9841
5) Орехов 41x-40*9841
Пряников 41*9841-40x
Разность 81x-81*9841
6) Орехов 122x-121*9841
Пряников 122*9841-121x
Разность 243x-243*9841
7) Орехов 365x-364*9841
Пряников 365*9841-364x
Разность 729x-729*9841
8) Орехов 1094x-1093*9841
Пряников 1094*9841-1093x
Разность 2187x-2187*9841
9) Орехов 3281x-3280*9841
Пряников 3281*9841-3280x
Разность 6561x-6561*9841
10) Орехов 9842x-9841*9841
Пряников 9842*9841-9841x
Разность 19683x-19683*9841
По условию в 10 ящике пряников не было вообще.
9842x*9841-9841x = 0
9841*(9842-x) = 0
x = 9842 орехов было в 1 ящике.

Answer 2

Обозначим через $x$ количество орехов в первом ящике. Тогда количество пряников в первом ящике равно $x - 1$ (так как в каждом следующем ящике на один пряник меньше).

В 10-ом ящике совсем нет пряников, значит, в нем находится только орехи. Обозначим количество орехов в 10-ом ящике через $y$. Тогда по условию задачи, в 9-ом ящике находится $y - (x - 1)$ пряников. В 8-м ящике находится на $(y - (x - 1)) - (x - 2)$ пряников и так далее, пока в 1-м ящике не закончатся пряники.

Таким образом, мы можем записать систему уравнений: \begin{align} x - 1 &= y - (x - 1) \ x - 2 &= (y - (x - 1)) - (x - 2) \ x - 3 &= ((y - (x - 1)) - (x - 2)) - (x - 3) \ &\vdots \ x - 9 &= ((y - (x - 1)) - (x - 2)) - \cdots - (x - 9) \end{align}

Мы знаем, что $y = x + 9$ (поскольку в 10-ом ящике нет пряников, а орехов находится на столько больше, на сколько пряников в предыдущем ящике), поэтому можем подставить это выражение в систему уравнений и упростить ее: \begin{align} x - 1 &= 2x + 8 - x + 1 \ x - 2 &= 2x + 8 - 2(x - 1) - (x - 2) \ x - 3 &= 2x + 8 - 2(x - 1) - 3(x - 3) \ &\vdots \ x - 9 &= 2x + 8 - 2(x - 1) - \cdots - 9(x - 9) \end{align}

После упрощения и сокращения получаем: \begin{align} x &= 180 \ y &= x + 9 = 189 \end{align}

Таким образом, в самом первом ящике находится 180 орехов.