Question

Найти предел x→infinity(ln(x-2)-lnx)

Answer 1

Ответ: Ln(1)      Пояснение : преобразуем выражение   ln(x-2)-lnx используя свойство логарифма . ln(x-2)-lnx=ln(  (x-2)/x  )=ln(1-2/x), поскольку x стремится к бесконечности, 2/x стремится к 0, и останется ln(1).

Answer 2

Для нахождения предела данной функции, сначала объединим два логарифма с разными аргументами в один общий логарифм, используя свойство логарифмов:

ln(x-2) - ln(x) = ln((x-2)/x)

Теперь можно выразить предел в виде:

lim x→∞ (ln(x-2) - ln(x)) = lim x→∞ ln((x-2)/x)

Далее, мы можем применить правило Лопиталя, чтобы разрешить неопределенность вида ∞/∞:

lim x→∞ ln((x-2)/x) = lim x→∞ [ln(x-2) - ln(x)] / [1/x-1]

= lim x→∞ [(1/(x-2))/(-1/x^2)] / [-1/x^2] (применение правила Лопиталя)

= lim x→∞ (x^2 / (x-2)) * (x / (x-1))

Теперь мы можем вычислить предел, подставив ∞ вместо x:

lim x→∞ (x^2 / (x-2)) * (x / (x-1)) = ∞

Таким образом, исходный предел равен бесконечности.