Question

Дано: tga = 1/5, 0<a<п/2 Знайти: а) cosa б) sin2a, cos2a, tg2a

Answer 1

А) cos(a)=√(1+cos(2*a)/2)=√(1+0,923)/2=0,981 c учётом диапазона углов.

б) sin(2*a)=2*tg(a)/(1+tg²(a))=2*0,2/(1+0,2²) =0,385
cos (2*a)=(1-tg²(a))/(1+tg²(a))=(1-0,2²)/(1+0,2²)=0,923
 tg(2*a)=2*tg(a)/(1-tg²(a))=2*0,2/(1-0,2²)=0,417

Answer 2

Дано: $\tan{a}=\frac{1}{5}$, $0<a<\frac{\pi}{2}$

а) Щоб знайти $\cos{a}$, використаємо відоме тотожність $\tan^2{a} + \cos^2{a} = 1$:

$$\cos^2{a} = 1 - \tan^2{a} = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$$

Оскільки $0<a<\frac{\pi}{2}$, то $\cos{a}$ буде додатнім числом, тому:

$$\cos{a} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$$

б) Щоб знайти $\sin{2a}$, використаємо відому формулу для подвійного кута:

$$\sin{2a} = 2\sin{a}\cos{a}$$

За формулою п.а), $\cos{a}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$, а $\sin{a} = \frac{\tan{a}}{\sqrt{1+\tan^2{a}}} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{25}}} = \frac{5}{\sqrt{26}}$. Тоді:

$$\sin{2a} = 2\sin{a}\cos{a} = 2\cdot\frac{5}{\sqrt{26}}\cdot\frac{2\sqrt{6}}{5} = \frac{20\sqrt{6}}{\sqrt{26}\cdot5} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{13}}$$

Щоб знайти $\cos{2a}$, використаємо формули з тригонометрії:

$$\begin{aligned} \cos{2a} &= \cos^2{a} - \sin^2{a} \\ &= \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 - \left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right)^2 \\ &= \frac{24}{25} - \frac{25}{26} \\ &= -\frac{1}{325} \end{aligned}$$

Щоб знайти $\tan{2a}$, можна використати формулу $\tan{2a} = \frac{2\tan{a}}{1-\tan^2{a}}$:

$$\tan{2a} = \frac{2\tan{a}}{1-\tan^2{a}} = \frac{2\cdot\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{25}} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$$