Question

Делится ли разность 9 в 1936 степени - 8 в 1980 степени на 5? на 10? Срочно пожалуйста​

Answer 1

$8^{1980}=(8^4)^{495}$

Заканчивается на 6.

$9^{1936}=(9^2)^{968}$

Заканчивается на 1.

Разность заканчивается на 5 поэтому делится на 5 и не делится на 10.

Answer 2

Чтобы проверить, делится ли разность $9^{1936}-8^{1980}$ на 5 или на 10, можно посмотреть на остатки этих чисел при делении на 5 и на 10.

Для начала найдём остаток числа $9$ при делении на 5:

$9 \div 5 = 1 \text{ ост. } 4$

Таким образом, $9$ даёт остаток $4$ при делении на $5$.

Аналогично найдём остаток числа $8$ при делении на 5:

$8 \div 5 = 1 \text{ ост. } 3$

Таким образом, $8$ даёт остаток $3$ при делении на $5$.

Теперь найдём остаток числа $9^{1936}$ при делении на 5. Для этого воспользуемся тем фактом, что остаток степени числа при делении на $n$ зависит только от остатка самого числа при делении на $n$:

$9^{1936} \equiv 4^{1936} \pmod{5}$

Для упрощения вычислений заметим, что $4^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5}$, поэтому

$4^{1936} = (4^2)^{968} \equiv 1^{968} \equiv 1 \pmod{5}$

Таким образом, $9^{1936}$ даёт остаток $1$ при делении на $5$.

Аналогично найдём остаток числа $8^{1980}$ при делении на 5:

$8^{1980} \equiv 3^{1980} \pmod{5}$

Заметим, что $3^4 \equiv 81 \equiv 1 \pmod{5}$, поэтому

$3^{1980} = (3^4)^{495} \equiv 1^{495} \equiv 1 \pmod{5}$

Таким образом, $8^{1980}$ также даёт остаток $1$ при делении на $5$.

Итак, мы получили, что $9^{1936}$ даёт остаток 1 при делении на 5, а $8^{1980}$ также даёт остаток 1 при делении на 5. Следовательно,

$9^{1936} - 8^{1980} \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{5}$

То есть разность $9^{1936} - 8^{1980}$ делится на 5.

Чтобы проверить, делится ли разность $9^{1936}-8^{1980}$ на 10, можно посмотреть на последние две цифры этих чисел. Для этого нужно заметить, что

$9^{1936} \equiv 1^{1936} \equiv 1 \pmod{100}$

(пос