Question

Длина прямоугольного параллелепипеда на 2 см больше его ширины и на столько же меньше его высоты.Найдите измерения параллелепипеда,если площадь его поверхности равна 142 Помогите)

Answer 1

Решение на картинках

Answer 2

Обозначим длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда через $l$, $w$ и $h$ соответственно.

Из условия задачи известно, что $l = w + 2$ и $l = h - 2$. Нам также дана площадь поверхности параллелепипеда, которая вычисляется по формуле:

$2lw + 2lh + 2wh = 142.$

Заменим $l$ в этой формуле, используя известные выражения для $l$:

$2(w+2)w + 2(w+2)(h-2) + 2wh = 142.$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2w^2 + 4w + 2wh - 4w - 8 + 2wh + 2wh = 142,$

$2w^2 + 6wh - 8w - 8 = 142,$

$w^2 + 3wh - 4w - 4 = 71.$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$w^2 + 3wh - 4w - 75 = 0.$

Это квадратное уравнение относительно $w$. Решим его с помощью формулы для дискриминанта:

$D = (3h)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) \cdot (-75) = 9h^2 - 1200.$

Если $D > 0$, то уравнение имеет два корня. Если $D = 0$, то уравнение имеет один корень кратности два. Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. $D > 0$

Тогда уравнение имеет два корня:

$w_1 = \frac{-3h + \sqrt{D}}{2}, \quad w_2 = \frac{-3h - \sqrt{D}}{2}.$

Оба корня должны быть положительными, так как $w$ - это ширина параллелепипеда. Кроме того, заметим, что $w_1 + w_2 = 3h$, так как это коэффициент при $w$ в уравнении. Поэтому мы можем найти $h$ из следующей системы уравнений:

w_1 + w_2 = 3h, \\ w_1 w_2 = -\frac{75}{1}. \end{cases}$$ Первое уравнение можно переписать в виде: $$w_1 = 3h - w_2.$$ Подставим это выражение во второе уравнение и решим полученное квадратное уравнение относ