Question

Помогите решить пример!! 5^(2x+1)+6^(x+1)>30+15^x*10^x

Answer 1

5^(2x+1)+6^(x+1)>30+15^x*10^x

$5^{2x+1}+6^{x+1}\ \textgreater \ 30+15^x*10^x$

Решение

$5^{2x+1}+6^{x+1}\ \textgreater \ 30+15^x*10^x$

$5*5^{2x}+6*6^x\ \textgreater \ 30+(3*5)^x*(2*5)^x$

$5*5^{2x}+6*6^x\ \textgreater \ 30+3^x*5^x*2^x*5^x$

$5*5^{2x}+6*6^x\ \textgreater \ 30+(3^x*2^x)*(5^x*5^x)$

$5*5^{2x}+6*6^x\ \textgreater \ 30+6^x*5^{2x}$

$5*5^{2x}-6^x*5^{2x}+6*6^x-30\ \textgreater \ 0$

$5^{2x}*(5-6^x)+6(6^x-5)\ \textgreater \ 0$

$-5^{2x}*(6^x-5)+6(6^x-5)\ \textgreater \ 0$

$(6-5^{2x})*(6^x-5)\ \textgreater \ 0$

Неравенство решим по методу интервалов.

Найдем значения х при которых множители равны нулю.
        6 - 5²ˣ = 0                                       5 - 6ˣ = 0
             5²ˣ = 6                                             6ˣ = 5
       log₅5²ˣ = log₅6                                log₆6ˣ =log₆5 
              2x = log₅6                            
                x₁ =0,5*log₅6 ≈ 0,5566                    x₂ = log₆5≈ 0,8982   

На числовой прямой отобразим данные точки. По методу подстановки найдем знаки левой части неравенства в окрестностях точек x₁ и х₂. Например при х=0
(6ˣ-5)*(6-5²ˣ)=(6⁰-5)(6-5⁰)=(1-5)*(6-1)<0

     -       0      +         0        -
  ----------!---------------!------------
            0,56             0,89

Следовательно решением неравенства являются все значения х∈(0,5*log₅6; log₆5) или х∈(0,557;0,898)

Ответ: (0,5*log₅6; log₆5)

Answer 2

Для решения данного неравенства необходимо использовать методы логарифмов.

Начнем с преобразования выражений в логарифмическую форму:

5^(2x+1) + 6^(x+1) > 30 + 15^x * 10^x

(2x+1)log5 + (x+1)log6 > log30 + xlog15 + xlog10

Заметим, что log10 = 1, поэтому можем упростить правую часть неравенства:

(2x+1)log5 + (x+1)log6 > log30 + xlog15 + x

Перенесем все слагаемые с x на левую сторону, а все константы - на правую:

(2log5 - log15)x + log5 + log6 > log30 + 1

Вычислим левую часть неравенства:

2log5 - log15 ≈ 0.778

log5 + log6 ≈ 1.204

Подставим найденные значения и перенесем константы на левую сторону:

0.778x > 0.481

x > 0.618

Итак, решением данного неравенства является любое значение x, большее 0.618.