Question

Плоскость закрашена в три цвета. Доказать, что найдутся две точки, закрашенные в один цвет и расположенные на расстоянии 1 м.

Answer 1

Допустим что две точки лежащие на расстоянии 1 м разного цвета,
построим правильный треугольник со стороной 1м ,получим что все точки принадлежашие вершинам разного цвета. 
отметим точку А1 симметричную точке А относительно стороны ВС ,а так как  А1 находится от точек В и С на расстоянии 1м она   не совпадает сними по цвету  , значит она совпадает по цвету с точкой А
,то есть если начертить окружность с радиусом \sqrt{x3},и  центром в точке А, то все точки принадлежащие этой окружности будут одного цвета , значит найдутся две точки расстояние между которыми равно 1. Получили противоречие.

Answer 2

Предположим, что таких точек нет. Тогда плоскость можно разделить на три части - красную, синюю и зеленую, и никакие две точки одного цвета не будут находиться на расстоянии 1 м друг от друга.

Рассмотрим круг радиуса 1/3 м с центром в точке красного цвета. Этот круг полностью лежит внутри красной области. Если мы рассмотрим все точки на границе этого круга, то они должны быть одного из двух других цветов - синего или зеленого. Почему? Предположим, что есть точка красного цвета на границе круга. Тогда расстояние между этой точкой и центром круга будет равно 1/3 м, что противоречит нашему предположению.

Теперь рассмотрим пару точек на границе круга, одна синего цвета, а другая зеленого. Расстояние между ними не может быть меньше, чем диаметр круга, который равен 2/3 м. Получается, что мы нашли две точки разных цветов, которые находятся на расстоянии 2/3 м друг от друга, что противоречит нашему предположению.

Таким образом, мы доказали, что в любой раскраске плоскости в три цвета найдутся две точки одного цвета, которые находятся на расстоянии 1 м друг от друга.